Calcule a variação de entropia do argônio, que está inicialmente a 20^{\circ} \mathrm{C} e 1,00 \mathrm{~atm}, num recipiente de 400 \mathrm{~cm}^{3} de volume e que se expande até o volume de 1000 \mathrm{~cm}^{3}, sendo simultaneamente aquecido até 90^{\circ} \mathrm{C}. Admita \mathrm{C}_{v, m}=(3 / 2) \mathrm{R} para gás perfeito monoatômico.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que ele pede.
  • Dados do problema:
    • Volume inicial: V_1 = 400\\ \mathrm{cm}^3 = 4,00\!\times\!10^{-4}\\ \mathrm{m}^3.
    • Volume final: V_2 = 1000\\ \mathrm{cm}^3 = 1,00\!\times\!10^{-3}\\ \mathrm{m}^3.
    • Temperatura inicial: T_1 = 20^\circ\mathrm{C} = 293,15\\ \mathrm{K}.
    • Temperatura final: T_2 = 90^\circ\mathrm{C} = 363,15\\ \mathrm{K}.
    • Pressão inicial: p_1 = 1{,}00\\ \mathrm{atm}.
    • Capacidade térmica molar dada: C_{V,m} = \tfrac{3}{2}R (gás perfeito monoatômico).
  • O que é pedido:
    • Calcular a variação de entropia do argônio ao passar do estado (T_1,V_1) para (T_2,V_2).

Passo 2

Ideia física e fórmula que vamos usar (explicando cada termo).
  • A entropia é uma função de estado; para um gás ideal a variação de entropia entre dois estados pode ser obtida integrando a expressão diferencial numa transformação reversível qualquer que ligue os estados. Começamos com a relação termodinâmica
\mathrm{d}S=\frac{\delta q_{\mathrm{rev}}}{T}.
  • Pela primeira lei, em um processo reversível para um gás ideal vale \delta q_{\mathrm{rev}}=\mathrm{d}U+p\,\mathrm{d}V. Para um gás ideal monoatômico temos \mathrm{d}U=n C_{V,m}\,\mathrm{d}T. Além disso, a equação de estado é pV=nRT, então p\,\mathrm{d}V = nR T\,\frac{\mathrm{d}V}{V}.
  • Substituindo em \mathrm{d}S e dividindo por T obtemos
\mathrm{d}S=\frac{n C_{V,m}\,\mathrm{d}T}{T} + nR\,\frac{\mathrm{d}V}{V}.
  • Integrando entre os estados inicial e final (os termos são separados) chegamos à fórmula padrão
\Delta S = \int_{T_1}^{T_2} n C_{V,m}\,\frac{\mathrm{d}T}{T} + \int_{V_1}^{V_2} nR\,\frac{\mathrm{d}V}{V} = n C_{V,m}\ln\frac{T_2}{T_1} + nR\ln\frac{V_2}{V_1}.
  • Explicando cada símbolo:
    • \Delta S é a variação de entropia total (unidade \mathrm{J\,K^{-1}}).
    • n é a quantidade de matéria (mol).
    • C_{V,m} é a capacidade térmica molar a volume constante (aqui \tfrac{3}{2}R).
    • R é a constante dos gases ideais ( R=8{,}3145\\ \mathrm{J\,mol^{-1}\,K^{-1}}).
    • \ln é o logaritmo natural.

Passo 3

Determinar n (quantidade de mols) a partir das condições iniciais, usando a equação de estado ideal.
  • Usamos p_1 V_1 = n R T_1, então
n = \frac{p_1 V_1}{R T_1}.
  • Converter unidades para o SI (para usar R=8{,}3145\\ \mathrm{J\,mol^{-1}\,K^{-1}}):
    • p_1 = 1{,}00\\ \mathrm{atm} = 1{,}01325\times 10^{5}\\ \mathrm{Pa}.
    • V_1 = 400\\ \mathrm{cm}^3 = 4{,}00\times 10^{-4}\\ \mathrm{m}^3.
    • T_1 = 293{,}15\\ \mathrm{K}.
  • Calculando n:
n = \frac{1{,}01325\times 10^{5}\cdot 4{,}00\times 10^{-4}}{8{,}3145\cdot 293{,}15} \approx 0{,}01664\\ \mathrm{mol}.

Passo 4

Calcular os logaritmos e montar a expressão final (sem ainda apresentar o resultado final numérico nesta etapa).
  • Razões térmicas e volumétricas:
\ln\frac{T_2}{T_1} = \ln\frac{363{,}15}{293{,}15} \approx 0{,}2149, \qquad \ln\frac{V_2}{V_1} = \ln\frac{1{,}000\times 10^{-3}}{4{,}00\times 10^{-4}} = \ln(2{,}5) \approx 0{,}91629.
  • Substituindo C_{V,m}=\tfrac{3}{2}R na fórmula de \Delta S, obtemos a forma conveniente
\Delta S = nR\!\left(\tfrac{3}{2}\ln\frac{T_2}{T_1} + \ln\frac{V_2}{V_1}\right).
  • Já calculado n, e com R=8{,}3145\\ \mathrm{J\,mol^{-1}\,K^{-1}}, temos
nR \approx 0{,}01664\times 8{,}3145 \approx 0{,}1384\\ \mathrm{J\,K^{-1}}.
  • Os dois parênteses somam:
\tfrac{3}{2}\ln\frac{T_2}{T_1} + \ln\frac{V_2}{V_1} \approx 1{,}2386.
  • Multiplicando os fatores acima obtém-se o valor numérico de \Delta S, que está na seção de resposta abaixo.
(Força aí: a parte algébrica já está feita — você só teria que multiplicar 0{,}1384 por 1{,}2386 para obter a variação de entropia.)

Resposta

\Delta S = 0,171\\ \mathrm{J\,K^{-1}}

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