Uma máquina opera entre 125^{\circ} \mathrm{C} e 40^{\circ} \mathrm{C}. qual é a quantidade mínima de calor que deve ser retirado do reservatório para obter 1500 J de trabalho?

Passo 1

O enunciado dá os seguintes dados e pede uma única coisa.
  • Dados:
    • Temperatura do reservatório quente: 125^\circ\mathrm{C}.
    • Temperatura do reservatório frio: 40^\circ\mathrm{C}.
    • Trabalho desejado: 1500\\ \mathrm{J}.
  • Pergunta: qual é a quantidade mínima de calor que deve ser retirada do reservatório (isto é, Q_h) para obter 1500\\ \mathrm{J} de trabalho?

Passo 2

Entendendo o que significa “mínima quantidade de calor”: para uma máquina térmica que produz um trabalho W extraindo calor Q_h da fonte quente, vale
W=\eta\,Q_h,
onde \eta é a eficiência da máquina. Para minimizar Q_h dado W fixo, precisamos da maior eficiência possível. A maior eficiência possível entre duas temperaturas é a eficiência de Carnot (máxima teoricamente alcançável por um ciclo reversível), dada por
\eta_{\mathrm{Carnot}}=1-\dfrac{T_c}{T_h},
onde T_h e T_c são as temperaturas absoluta (Kelvin) da fonte quente e fria, respectivamente. Aqui:
  • T_h = temperatura da fonte quente (em Kelvin),
  • T_c = temperatura da fonte fria (em Kelvin),
  • \eta_{\mathrm{Carnot}} é adimensional (fração).

Passo 3

Por que usar Kelvin? Porque a fórmula de Carnot usa temperaturas absolutas; converter Celsius para Kelvin é obrigatório. A relação é
T\;(\mathrm{K})=\theta\;(^\circ\mathrm{C})+273{,}15.
Aplicando ao problema:
T_h=125+273{,}15=398{,}15\\ \mathrm{K},
T_c=40+273{,}15=313{,}15\\ \mathrm{K}.

Passo 4

Calcular a eficiência de Carnot com esses T_h e T_c:
\eta_{\mathrm{Carnot}}=1-\dfrac{T_c}{T_h} =1-\dfrac{313{,}15}{398{,}15} =\dfrac{398{,}15-313{,}15}{398{,}15} =\dfrac{85}{398{,}15}\approx 0{,}2136.
Interpretação rápida: a eficiência máxima possível é cerca de 21{,}36\%. Isso significa que, no melhor caso, só cerca de 21{,}36\% do calor extraído pode virar trabalho.

Passo 5

Relacionar trabalho e calor e isolar Q_h. Como queremos o menor Q_h para produzir W, usamos \eta_{\mathrm{Carnot}} e escrevemos
W=\eta_{\mathrm{Carnot}}\,Q_h \quad\Rightarrow\quad Q_h=\dfrac{W}{\eta_{\mathrm{Carnot}}}.
Aqui W=1500\\ \mathrm{J} e \eta_{\mathrm{Carnot}} já calculada.

Passo 6

Substituir os números:
Q_h=\dfrac{1500}{0{,}2136}\approx 7026\\ \mathrm{J}.
(uma forma exata intermediária útil: Q_h=1500\cdot\dfrac{398{,}15}{85}=\dfrac{119445}{17}\\ \mathrm{J}\approx 7026{,}18\\ \mathrm{J}.)

Passo 7

Conclusão prática: para obter 1500\\ \mathrm{J} de trabalho da forma mais eficiente possível entre 125^\circ\mathrm{C} e 40^\circ\mathrm{C}, a máquina deve extrair, no mínimo, cerca de 7{,}03\times10^{3}\\ \mathrm{J} do reservatório quente. Força aí — essa é a resposta que a prova espera; lembra que, na prática, máquinas reais têm eficiência menor que a de Carnot, então exigiriam mais calor ainda.

Resposta

Q_{\min}\approx 7{,}03\times10^{3}\\ \mathrm{J}

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