Calcule a Variância e o Desvio Padrão para os conjuntos X e Y, e explique qual dos dois conjuntos tem menor dispersão (trata-se de uma População):
\mathrm{X}: \quad 2,3,7,9,11,13
Y: 5,12,4,20,13,17

Passo 1

O enunciado pede para calcular a variância e o desvio padrão populacional dos conjuntos \mathrm{X} = \{2,3,7,9,11,13\} e \mathrm{Y}=\{5,12,4,20,13,17\}, e comparar qual tem menor dispersão. Vamos usar a definição de população:
\sigma^2 = \frac{1}{N}\sum_{i=1}^{N}(x_i - \mu)^2, \sigma = \sqrt{\sigma^2}, onde \mu é a média dos dados e N=6 em cada conjunto.

Passo 2

Calcular a média de \mathrm{X}:
\mu_X = \frac{2+3+7+9+11+13}{6} = \frac{45}{6} = 7,5.

Passo 3

Calcular a variância populacional de \mathrm{X} usando
\sigma_X^2 = \frac{1}{6}\sum_{i=1}^{6}(x_i - \mu_X)^2.
As diferenças ao quadrado são (2-7,5)^2=30{,}25,\;(3-7,5)^2=20{,}25,\;(7-7,5)^2=0{,}25,\;(9-7,5)^2=2{,}25,\;(11-7,5)^2=12{,}25,\;(13-7,5)^2=30{,}25.
Somando:
\sum (x_i-\mu_X)^2 = 30{,}25+20{,}25+0{,}25+2{,}25+12{,}25+30{,}25 = 95{,}5,
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\sigma_X^2 = \frac{95{,}5}{6} \approx 15{,}92.

Passo 4

Calcular o desvio padrão de \mathrm{X}:
\sigma_X = \sqrt{\sigma_X^2} = \sqrt{15{,}92} \approx 3{,}99.

Passo 5

Calcular a média de \mathrm{Y}:
\mu_Y = \frac{5+12+4+20+13+17}{6} = \frac{71}{6} \approx 11{,}8333.

Passo 6

Calcular a variância populacional de \mathrm{Y} usando
\sigma_Y^2 = \frac{1}{6}\sum_{i=1}^{6}(y_i - \mu_Y)^2.
As diferenças ao quadrado são (5-11,8333)^2\approx46{,}69,\;(12-11,8333)^2\approx0{,}03,\;(4-11,8333)^2\approx61{,}36,\;(20-11,8333)^2\approx66{,}69,\;(13-11,8333)^2\approx1{,}36,\;(17-11,8333)^2\approx26{,}69.
Somando:
\sum (y_i-\mu_Y)^2 \approx 202{,}81,
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\sigma_Y^2 = \frac{202{,}81}{6} \approx 33{,}80.

Passo 7

Calcular o desvio padrão de \mathrm{Y}:
\sigma_Y = \sqrt{\sigma_Y^2} = \sqrt{33{,}80} \approx 5{,}81.

Passo 8

Comparar dispersões: \sigma_X \approx 3{,}99 e \sigma_Y \approx 5{,}81. Como \sigma_X < \sigma_Y, o conjunto X tem menor dispersão.

Resposta

\sigma_X^2 \approx 15,92, \sigma_X \approx 3,99 \sigma_Y^2 \approx 33,80, \sigma_Y \approx 5,81
O conjunto X apresenta menor dispersão.

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