Calcule a velocidade média quadrática para um mol de moléculas de nitrogênio a
e a 1000 K .
Passo 1
O que o problema pede e o que nos dá:
- Pede a velocidade média quadrática (velocidade rms) de 1 mol de moléculas de nitrogênio diatômico (
) para quatro temperaturas: , , e . - Informações que vamos usar:
- quantidade:
mol de (isto determina que usaremos massa molar). - temperaturas:
. - constantes necessárias serão explicitadas e usadas nos próximos passos (não há mais dados no enunciado).
- quantidade:
Passo 2
Qual fórmula vamos usar e por quê (aula rapidinha e didática).
- A teoria cinética dos gases dá a relação entre temperatura e velocidade média quadrática (rms) de moléculas de um gás ideal. Para uma mol de gás, uma forma prática é
onde:
-
é a velocidade quadrática média (em ); -
é a constante dos gases ideais ( em ); -
é a temperatura absoluta em kelvin ( ); -
é a massa molar do gás em quilograma por mol ( ). -
Explicação intuitiva:
é a versão por molécula (com e massa molecular ). Como estamos tratando 1 mol, trocamos por e por , e isso cancela e leva à fórmula com e . A raiz aparece porque estamos relacionando energia cinética média com .
Passo 3
Dados numéricos e conversões (passo importante para não errar unidades).
- Constante dos gases: vou usar
. - Massa molar do
: massa atômica do nitrogênio , então para
- Converter para
:
(Para cálculo prático, podemos arredondar razoavelmente e usar
.)
Passo 4
Preparar a expressão numérica e simplificar um pouco: calcular o fator
que aparece dentro da raiz.
- Calculemos
:
- Agora o quociente
Obs.: a unidade desse quociente é tal que, multiplicando por
e tirando a raiz, dá
.
Assim podemos escrever numericamente
Passo 5
Cálculo para
.
- Substituindo na expressão:
- Multiplicando:
- Tirando a raiz:
(Arredondei para três algarismos significativos; você pode manter 422,2 m/s se quiser mais precisão.)
Passo 6
Cálculo para
. Dois jeitos: repetir a fórmula ou usar o fato que
. Vou usar a proporção porque é mais rápido e evita cálculo extra.
- Relação de escala:
- Já temos
. Então
Passo 7
Cálculo para
(novamente usando a proporcionalidade).
- Fator:
- Então
Passo 8
Cálculo para
.
- Fator:
- Então
Passo 9
Resumo, interpretação rápida e dica para prova.
- Valores aumentam como
: dobrar a temperatura não dobra a velocidade, aumenta por . - Nas contas de prova, memorize a fórmula
e lembre de usar em . Para use ; com isso os números acima saem rapidinho com uma calculadora ou usando a regra de proporcionalidade entre temperaturas. - Força! Você já sabe montar e aplicar a fórmula; com um pouco de prática esses cálculos ficam automáticos.