Calcule a velocidade média quadrática para um mol de moléculas de nitrogênio a 200 \mathrm{~K}, 300 \mathrm{~K}, 500 \mathrm{~K} e a 1000 K .

Passo 1

O que o problema pede e o que nos dá:
  • Pede a velocidade média quadrática (velocidade rms) de 1 mol de moléculas de nitrogênio diatômico ( \mathrm{N_2}) para quatro temperaturas: 200\\ \mathrm{K}, 300\\ \mathrm{K}, 500\\ \mathrm{K} e 1000\\ \mathrm{K}.
  • Informações que vamos usar:
    • quantidade: 1 mol de \mathrm{N_2} (isto determina que usaremos massa molar).
    • temperaturas: T=200\\ \mathrm{K},\\\ 300\\ \mathrm{K},\\\ 500\\ \mathrm{K},\\\ 1000\\ \mathrm{K}.
    • constantes necessárias serão explicitadas e usadas nos próximos passos (não há mais dados no enunciado).

Passo 2

Qual fórmula vamos usar e por quê (aula rapidinha e didática).
  • A teoria cinética dos gases dá a relação entre temperatura e velocidade média quadrática (rms) de moléculas de um gás ideal. Para uma mol de gás, uma forma prática é
v_{\mathrm{rms}}=\sqrt{\dfrac{3 R T}{M}},
onde:
  • v_{\mathrm{rms}} é a velocidade quadrática média (em \mathrm{m/s});
  • R é a constante dos gases ideais ( R em \mathrm{J\cdot mol^{-1}\cdot K^{-1}});
  • T é a temperatura absoluta em kelvin ( \mathrm{K});
  • M é a massa molar do gás em quilograma por mol ( \mathrm{kg\cdot mol^{-1}}).
  • Explicação intuitiva: 3k_B T/ m é a versão por molécula (com k_B e massa molecular m). Como estamos tratando 1 mol, trocamos k_B por R/N_A e m por M/N_A, e isso cancela N_A e leva à fórmula com R e M. A raiz aparece porque estamos relacionando energia cinética média \tfrac{1}{2} m \langle v^2\rangle com \tfrac{3}{2} k_B T.

Passo 3

Dados numéricos e conversões (passo importante para não errar unidades).
  • Constante dos gases: vou usar R=8,314\\ \mathrm{J\cdot mol^{-1}\cdot K^{-1}}.
  • Massa molar do \mathrm{N_2}: massa atômica do nitrogênio \approx 14,0067\\ \mathrm{g/mol}, então para \mathrm{N_2}
M \approx 2\times14,0067\\ \mathrm{g/mol}=28,0134\\ \mathrm{g/mol}.
  • Converter para \mathrm{kg/mol}:
M \approx 28,0134\\ \mathrm{g/mol}=0,0280134\\ \mathrm{kg\cdot mol^{-1}}.
(Para cálculo prático, podemos arredondar razoavelmente e usar M\approx0,02802\\ \mathrm{kg\cdot mol^{-1}}.)

Passo 4

Preparar a expressão numérica e simplificar um pouco: calcular o fator \dfrac{3R}{M} que aparece dentro da raiz.
  • Calculemos 3R:
3R = 3\cdot 8,314 = 24,942\\ \mathrm{J\cdot mol^{-1}\cdot K^{-1}}.
  • Agora o quociente
\frac{3R}{M} = \frac{24,942}{0,0280134}\\ \mathrm{(units)} \approx 890{,}4\\ \mathrm{m^2\cdot s^{-2}\cdot K^{-1}}.
Obs.: a unidade desse quociente é tal que, multiplicando por T e tirando a raiz, dá \mathrm{m/s}.
Assim podemos escrever numericamente
v_{\mathrm{rms}}=\sqrt{(890{,}4)\,T}\quad\text{(com \(T\) em K e \(v_{\mathrm{rms}}\) em m/s).}

Passo 5

Cálculo para T=200\\ \mathrm{K}.
  • Substituindo na expressão:
v_{\mathrm{rms}}(200)=\sqrt{890{,}4\cdot 200}.
  • Multiplicando:
890{,}4\cdot 200 = 178{,}080.
  • Tirando a raiz:
v_{\mathrm{rms}}(200)=\sqrt{178{,}080}\approx 422\\ \mathrm{m/s}.
(Arredondei para três algarismos significativos; você pode manter 422,2 m/s se quiser mais precisão.)

Passo 6

Cálculo para T=300\\ \mathrm{K}. Dois jeitos: repetir a fórmula ou usar o fato que v_{\mathrm{rms}}\propto\sqrt{T}. Vou usar a proporção porque é mais rápido e evita cálculo extra.
  • Relação de escala:
v_{\mathrm{rms}}(300)=v_{\mathrm{rms}}(200)\sqrt{\dfrac{300}{200}}.
  • Já temos v_{\mathrm{rms}}(200)\approx 422\\ \mathrm{m/s}. Então
v_{\mathrm{rms}}(300)\approx 422\cdot\sqrt{1{,}5}=422\cdot 1{,}2247449\approx 517\\ \mathrm{m/s}.

Passo 7

Cálculo para T=500\\ \mathrm{K} (novamente usando a proporcionalidade).
  • Fator:
\sqrt{\dfrac{500}{200}}=\sqrt{2{,}5}\approx 1{,}5811388.
  • Então
v_{\mathrm{rms}}(500)\approx 422\cdot 1{,}5811388\approx 667\\ \mathrm{m/s}.

Passo 8

Cálculo para T=1000\\ \mathrm{K}.
  • Fator:
\sqrt{\dfrac{1000}{200}}=\sqrt{5}\approx 2{,}2360679.
  • Então
v_{\mathrm{rms}}(1000)\approx 422\cdot 2{,}2360679\approx 944\\ \mathrm{m/s}.

Passo 9

Resumo, interpretação rápida e dica para prova.
  • Valores aumentam como \sqrt{T}: dobrar a temperatura não dobra a velocidade, aumenta por \sqrt{2}.
  • Nas contas de prova, memorize a fórmula v_{\mathrm{rms}}=\sqrt{3RT/M} e lembre de usar M em \mathrm{kg/mol}. Para \mathrm{N_2} use M\approx0,0280\\ \mathrm{kg/mol}; com isso os números acima saem rapidinho com uma calculadora ou usando a regra de proporcionalidade entre temperaturas.
  • Força! Você já sabe montar e aplicar a fórmula; com um pouco de prática esses cálculos ficam automáticos.

Resposta

200\\ \mathrm{K}:\\\ 422\\ \mathrm{m/s}
300\\ \mathrm{K}:\\\ 517\\ \mathrm{m/s}
500\\ \mathrm{K}:\\\ 667\\ \mathrm{m/s}
1000\\ \mathrm{K}:\\\ 944\\ \mathrm{m/s}

Exercícios relacionados