2- Calcule a velocidade da radiação com comprimento de onda de 720 nm e fótons de energia 2,76 \times 10^{-19} \mathrm{~J}

Passo 1

O que o enunciado pede: calcular a velocidade da radiação (ou seja, da onda eletromagnética) que tem comprimento de onda \(720\\ \mathrm{nm}) e fótons com energia \(2{,}76\times10^{-19}\\ \mathrm{J}).
Informações dadas:
  • comprimento de onda: \lambda = 720\\ \mathrm{nm}.
  • energia do fóton: E = 2{,}76\times10^{-19}\\ \mathrm{J}.

Passo 2

Qual fórmula relaciona energia, frequência e velocidade? Vou ensinar passo a passo.
  1. Relação de Planck entre energia e frequência:
E = h\,f
onde E é a energia do fóton (em \mathrm{J}), h é a constante de Planck (em \mathrm{J\cdot s}) e f é a frequência da onda (em \mathrm{Hz} ou \mathrm{s^{-1}}). Aqui, h é uma constante conhecida.
  1. Relação entre frequência, velocidade e comprimento de onda:
f = \frac{v}{\lambda}
onde v é a velocidade da radiação (em \mathrm{m/s}) e \lambda é o comprimento de onda (em \mathrm{m}).
  1. Substituindo f de (2) em (1) temos:
E = h\frac{v}{\lambda}.
Dessa igualdade isolamos v:
v = \frac{E\,\lambda}{h}.
Explicando cada variável: E é a energia fornecida, \lambda é o comprimento de onda (devemos usar metros), h é a constante de Planck, e v é a velocidade que queremos achar.

Passo 3

Converter unidades e anotar valores numéricos.
  • Converter \lambda de nanômetros para metros:
\lambda = 720\\ \mathrm{nm} = 720\times10^{-9}\\ \mathrm{m}.
  • Valor da energia (dado):
E = 2{,}76\times10^{-19}\\ \mathrm{J}.
  • Constante de Planck (valor conhecido; sempre indicar unidade):
h = 6{,}62607015\times10^{-34}\\ \mathrm{J\cdot s}.

Passo 4

Calcular passo a passo o numerador E\lambda.
Multiplicando em notação científica:
E\lambda = \left(2{,}76\times10^{-19}\right)\left(720\times10^{-9}\right).
Fazendo a multiplicação das mantissas e somando expoentes:
  • Mantissas: 2{,}76\times720 = 1987{,}2.
  • Expoentes: 10^{-19}\times10^{-9}=10^{-28}.
Portanto
E\lambda = 1987{,}2\times10^{-28}\\ \mathrm{J\cdot m} = 1{,}9872\times10^{-25}\\ \mathrm{J\cdot m}.

Passo 5

Dividir pelo valor de h para obter v.
Usando a fórmula
v = \frac{E\lambda}{h} = \frac{1{,}9872\times10^{-25}}{6{,}62607015\times10^{-34}}\\ \mathrm{m/s}.
Calculemos a razão das mantissas e a diferença dos expoentes:
  • Razão das mantissas: aproximadamente \dfrac{1{,}9872}{6{,}62607015}\approx0{,}2998.
  • Diferença de expoentes: -25 - (-34) = 9.
Então
v \approx 0{,}2998\times10^{9}\\ \mathrm{m/s} = 2{,}998\times10^{8}\\ \mathrm{m/s}.
Interpretação: esse valor é essencialmente a velocidade da luz no vácuo c. Ou seja, os números dados são consistentes com radiação eletromagnética viajando no vácuo.

Resposta

v = 2{,}998\times10^{8}\\ \mathrm{m/s}

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