Calcule a velocidade terminal para o grão de soja com as características abaixo. Suponha que o fluido de arraste seja o ar atmosférico a
e em regime laminar. Quanto tempo um grão de soja levará para atingir a base de um silo de 10 m de altura.
Passo 1
O enunciado pede que eu calcule a velocidade terminal de um grão de soja e o tempo que ele leva para cair de uma altura de
, supondo que o fluido seja ar atmosférico a
e que o escoamento seja em regime laminar. Dados fornecidos (vou reescrever todos explicitamente):
As perguntas são duas:
- Calcular a velocidade terminal do grão de soja.
- Calcular o tempo que o grão leva para atingir a base do silo de altura
.
Passo 2
Conceito e fórmula em regime laminar (Lei de Stokes). Vou explicar didaticamente: em escoamento laminar e para partículas pequenas com número de Reynolds muito menor que 1, a força de arraste sobre uma esfera é dada pela Lei de Stokes. Balanceando forças (peso menos empuxo = arrasto) obtém-se a velocidade terminal para uma esfera:
Aqui:
-
é a densidade do grão (kg/m³), -
é a densidade do fluido (ar) (kg/m³), -
é a aceleração da gravidade ( ), -
é o diâmetro do grão (m), -
é a viscosidade dinâmica do fluido (Pa·s).
Quando a partícula não é perfeitamente esférica usa‑se frequentemente um fator de correção relacionado à esfericidade
para reduzir a velocidade terminal (porque partículas não esféricas sofrem mais arrasto). Uma correção simples é multiplicar a expressão por
:
Vou usar essa forma para a hipótese “regime laminar” pedida no enunciado. Em seguida vou verificar se a hipótese de regime laminar é consistente calculando o número de Reynolds; se não for, vou apresentar uma solução mais realista usando o balanço com coeficiente de arrasto quadrático (método adequado para Re maiores).
Passo 3
Conversão de unidades (muito importante — faço passo a passo para não te confundir):
Passo 4
Cálculo da velocidade terminal usando a Lei de Stokes corrigida pela esfericidade:
Substituindo os valores (mostro as contas em etapas):
Produto do numerador:
Denominador:
Logo
Passo 5
Tempo de queda supondo velocidade terminal constante (hipótese típica):
Usando
:
Passo 6
Verificação da validade da hipótese “regime laminar”. Para isso calculamos o número de Reynolds com
:
Substituindo:
ou seja, um valor gigantesco. O regime laminar (condição para validade da Lei de Stokes) exige
. Portanto a suposição “regime laminar” é totalmente inconsistente com os dados: o valor obtido de
dá um
absurdamente grande. Conclusão: a aplicação direta da Lei de Stokes aqui é inválida. Não se assuste — isso acontece porque o ar tem baixa viscosidade e a partícula é relativamente grande/ densa.
Por isso é obrigatório usar uma abordagem mais adequada para Re moderado/alto: balanço peso–empuxo com arrasto quadrático (arrasto dependente de
).
Passo 7
Método mais realista (arrasto quadrático): balanço das forças no estado estacionário:
onde para uma esfera (aproximação razoável para o grão, já que
está perto de 1):
Cancelando
e simplificando obtemos a expressão fechada
Aqui
é o coeficiente de arrasto da partícula, que depende de
. Procedimento prático: escolhemos um valor típico de
para a faixa de
esperada e iteramos (calcula-se
, obtém-se
, atualiza
, recalcula
) até convergir. Para esferas, num intervalo de
entre aproximadamente
e
, um valor típico de
está em torno de
–
. Vou usar
(valor representativo) e verificar a consistência depois.
Passo 8
Cálculo numérico com
. Primeiro computo o numerador:
Denominador:
Quociente e raiz:
Passo 9
Verificação da consistência (calculo do
com este
):
Para
, o coeficiente de arrasto típico para uma esfera está de fato na faixa
–
, então a escolha
é coerente. Portanto a solução iterativa convergiu rapidamente e o resultado é confiável:
.
Passo 10
Tempo de queda com essa velocidade terminal mais realista:
Passo 11
Resumo interpretativo rápido e encorajador: a hipótese inicial “regime laminar” levou a usar a Lei de Stokes e produziu um valor matemático, mas a verificação do número de Reynolds mostrou que essa hipótese é falsa para os dados fornecidos. O procedimento correto é usar o balanço com arrasto quadrático e um coeficiente
apropriado — fazendo isso (iteração simples) obtemos resultados físicos e consistentes: velocidade terminal da ordem de
e tempo de queda da ordem de
. Vai ficar tudo bem — na prova é exatamente isso que se pede: checar a validade da hipótese e escolher o modelo adequado.
Resposta
Velocidade terminal assumindo regime laminar (Lei de Stokes corrigida pela esfericidade):
.
Tempo correspondente para (usando esse
):
.
Tempo correspondente para
Velocidade terminal realista (balanço com arrasto quadrático, iterando
):
.
Tempo correspondente para (usando esse
):
.
Tempo correspondente para