O material da Análise Granulométrica Diferencial (AGD) da Tabela é leite em pó granulado. Com os valores de a=18,6, b=2,1 e \rho=3,53 \mathrm{~g} / \mathrm{cm}^{3}, calcule:
a) O diâmetro médio de Sauter dessas frações
b) O número de partículas nessas frações, por 50 g de amostra seca
Table 1: Tabela: AGD de leite em pó granulado
\captionsetup{labelformat=empty}
Frações \mathrm{x}_{\mathrm{i}} \bar{D}_{i}(\mathrm{~cm})
8 / 10 0,3207 0,2006
10 / 14 0,2570 0,1410
14 / 20 0,1590 0,100
20 / 28 0,0538 0,0711
28 / 35 0,0210 0,0503
Soma 0,8115 -
\boldsymbol{N}=\frac{\boldsymbol{M}}{\boldsymbol{\rho} \boldsymbol{b}} \sum_{i=1}^{\boldsymbol{n}} \frac{\boldsymbol{x}_{\boldsymbol{i}}}{\overline{\boldsymbol{D}}_{\boldsymbol{i}}^{3}} \quad \bar{D} s=\frac{1}{\sum\left(\frac{x_{i}}{\bar{D}_{i}}\right)}

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
  1. Calcular o diâmetro médio de Sauter das frações (isto é, \bar{D}_s).
  2. Calcular o número de partículas nessas frações para uma amostra seca de 50\\ \mathrm{g}.
Dados fornecidos (peguei os valores da tabela):
\begin{array}{lll} \text{Fração} & x_i & \bar{D}_i\\ (\mathrm{cm})\\\\ 8/10 & 0,3207 & 0,2006\\\\ 10/14 & 0,2570 & 0,1410\\\\ 14/20 & 0,1590 & 0,1000\\\\ 20/28 & 0,0538 & 0,0711\\\\ 28/35 & 0,0210 & 0,0503\\\ \end{array}çã
Soma dos x_i (da tabela): \sum x_i = 0,8115.
Parâmetros adicionais dados:
a = 18,6,\qquad b = 2,1,\qquad \rho = 3,53\\ \mathrm{g/cm^{3}},\qquad M = 50\\ \mathrm{g}.
Observação: a fórmula para N que nos deram é
N=\frac{M}{\rho\, b}\sum_{i=1}^{n}\frac{x_i}{\bar{D}_i^{3}},
e a fórmula para o diâmetro médio de Sauter discreto é
\bar{D}_s=\frac{1}{\sum_{i=1}^{n}\left(\dfrac{x_i}{\bar{D}_i}\right)}.
Neste problema usaremos exatamente essas fórmulas e os dados da tabela.

Passo 2

O que é o diâmetro médio de Sauter e por que a fórmula é essa?
  • O diâmetro de Sauter (também chamado de D_{32}) é o diâmetro que relaciona o volume total das partículas com a área superficial total. Em termos contínuos é a razão entre o momento de volume e o momento de área.
  • Para frações discretas, a fórmula prática é
\bar{D}_s=\frac{1}{\sum_{i}\dfrac{x_i}{\bar{D}_i}},
onde:
  • x_i é a fração em massa (adimensional) da fração i (peguei da tabela),
  • \bar{D}_i é o diâmetro médio da fração i (em \mathrm{cm} na tabela).
  • Intuição rápida: cada termo x_i/\bar{D}_i representa contribuição relativa da fração à razão área/volume; somando e invertendo obtemos o diâmetro que representa essa razão.

Passo 3

Calcular cada termo x_i/\bar{D}_i (uso os valores da tabela, tudo em \mathrm{cm}):
\begin{aligned} \frac{x_1}{\bar{D}_1}&=\frac{0,3207}{0,2006}=1,5987\\ (\text{aprox.}),\\[4pt] \frac{x_2}{\bar{D}_2}&=\frac{0,2570}{0,1410}=1,8227\\ (\text{aprox.}),\\[4pt] \frac{x_3}{\bar{D}_3}&=\frac{0,1590}{0,1000}=1,5900,\\[4pt] \frac{x_4}{\bar{D}_4}&=\frac{0,0538}{0,0711}=0,7567\\ (\text{aprox.}),\\[4pt] \frac{x_5}{\bar{D}_5}&=\frac{0,0210}{0,0503}=0,4175\\ (\text{aprox.}). \end{aligned}
Agora somo esses termos:
\sum_{i}\frac{x_i}{\bar{D}_i}=1,5987+1,8227+1,5900+0,7567+0,4175=6,1856\\ (\text{aprox.}).]

Passo 4

Calcular \bar{D}_s usando a soma obtida:
\bar{D}_s=\frac{1}{\sum_{i}\dfrac{x_i}{\bar{D}_i}}=\frac{1}{6,1856}=0,1616\\ \mathrm{cm}\\ (\text{aprox.}).
Convertendo para milímetros: 0,1616\\ \mathrm{cm}=1,616\\ \mathrm{mm}.

Passo 5

Agora vamos à contagem de partículas N.
Explicação da fórmula:
  • A massa média de uma partícula da fração i pode ser escrita como m_i=\rho\, b\, \bar{D}_i^{3}, onde:
    • \rho é a densidade das partículas ( \mathrm{g/cm^3}),
    • b é um fator geométrico/empírico que relaciona D^3 ao volume/ massa efetiva da partícula (está dado),
    • \bar{D}_i está em \mathrm{cm}.
  • A massa total da amostra é M. A massa correspondente à fração i é M x_i.
  • O número de partículas da fração i é N_i=\dfrac{M x_i}{m_i}=\dfrac{M x_i}{\rho\, b\, \bar{D}_i^{3}}.
  • Somando sobre as frações:
N=\sum_i N_i=\frac{M}{\rho\, b}\sum_i\frac{x_i}{\bar{D}_i^{3}}.
Usaremos M=50\\ \mathrm{g}, \rho=3,53\\ \mathrm{g/cm^3}, b=2,1 e os \bar{D}_i da tabela.

Passo 6

Calcular \bar{D}_i^{3} e cada termo x_i/\bar{D}_i^{3}:
\begin{aligned} \bar{D}_1^{3}&=(0,2006)^{3}=0,0080722\\ (\text{aprox.})\quad\Rightarrow\quad\frac{x_1}{\bar{D}_1^{3}}=\frac{0,3207}{0,0080722}=39,73,\\[4pt] \bar{D}_2^{3}&=(0,1410)^{3}=0,0028032\\ (\text{aprox.})\quad\Rightarrow\quad\frac{x_2}{\bar{D}_2^{3}}=\frac{0,2570}{0,0028032}=91,69,\\[4pt] \bar{D}_3^{3}&=(0,1000)^{3}=0,0010000\quad\Rightarrow\quad\frac{x_3}{\bar{D}_3^{3}}=\frac{0,1590}{0,0010000}=159,00,\\[4pt] \bar{D}_4^{3}&=(0,0711)^{3}=0,00035943\\ (\text{aprox.})\quad\Rightarrow\quad\frac{x_4}{\bar{D}_4^{3}}=\frac{0,0538}{0,00035943}=149,70,\\[4pt] \bar{D}_5^{3}&=(0,0503)^{3}=0,00012726\\ (\text{aprox.})\quad\Rightarrow\quad\frac{x_5}{\bar{D}_5^{3}}=\frac{0,0210}{0,00012726}=165,00. \end{aligned}
Somando os termos:
\sum_{i}\frac{x_i}{\bar{D}_i^{3}}=39,73+91,69+159,00+149,70+165,00=605,12\\ (\text{aprox.}).]

Passo 7

Calcular o fator prefatorial M/(\rho\, b) e então N:
\frac{M}{\rho\, b}=\frac{50}{3,53\cdot 2,1}=\frac{50}{7,413}=6,744\\ (\text{aprox.}).
Logo
N=\frac{M}{\rho\, b}\sum_{i}\frac{x_i}{\bar{D}_i^{3}}=6,744\cdot 605,12=4\,080,9\\ (\text{aprox.}).
Arredondando para um número inteiro de partículas: N\approx 4\,081 partículas por 50\\ \mathrm{g} de amostra seca.

Resposta

a) \bar{D}_s=0,1616\\ \mathrm{cm} (ou 1,616\\ \mathrm{mm}).
b) N\approx 4\,081 partículas para 50\\ \mathrm{g}.

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