A peneiração de uma amostra de grãos de milho gerou o seguinte perfil de distribuição granulométrica:
35,2
70,0
100
110
141,6
200
8
20
35
60
85
90
(a) Determine o percentual de partículas com diâmetro menor
.
(b) Determine a equação do modelo Sigmóide.
(c) Calcule o percentual de partículas menores que
. Compare e comente em relação ao valor determinado no item (a).
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35,2 | 70,0 | 100 | 110 | 141,6 | 200 |
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8 | 20 | 35 | 60 | 85 | 90 |
(b) Determine a equação do modelo Sigmóide.
(c) Calcule o percentual de partículas menores que
Passo 1
O enunciado dá uma peneiração (distribuição cumulativa) com os pares diâmetro
(em
m) e percentual acumulado
(em %). Eu extraí os dados da tabela do enunciado (estou usando exatamente esses números):
O problema pede:
(a) determinar o percentual de partículas com diâmetro menor que (usando os dados brutos — eu vou usar interpolação linear entre as peneiras adjacentes);
(b) determinar a equação do modelo sigmoide;
(c) calcular o percentual menor que usando esse modelo sigmoide e comparar com o item (a).
(a) determinar o percentual de partículas com diâmetro menor que
(b) determinar a equação do modelo sigmoide;
(c) calcular o percentual menor que
Passo 2
(a) Como
está entre
(onde
) e
(onde
), faço interpolação linear simples entre esses dois pontos. A ideia da interpolação linear: assumimos que entre os dois pontos
varia linearmente com
. A fórmula da reta entre
e
é
Aqui
,
,
,
e queremos
.
Passo 3
Calculo escalar da interpolação:
Arredondando razoavelmente:
(ou ≈
).
Passo 4
(b) Agora vamos ajustar um modelo sigmoide. Explico o método antes de calcular: muitos perfis granulométricos têm forma logistic-like quando se plota o percentual acumulado em função do logaritmo do diâmetro. Então é comum linearizar usando a transformação “logit” e usar
como variável explicativa, isto é:
Por que isso? Porque a função logística em
tem a forma
e ao aplicar
obtemos uma relação linear em
, o que nos permite usar regressão linear simples (método dos mínimos quadrados) para estimar
e
. Vou mostrar passo a passo como calcular
e
com os dados fornecidos.
Passo 5
Primeiro calculo, para cada linha,
e
.
Usando os dados da tabela:
Agora aplico fórmulas da regressão linear simples
. Preciso de
,
,
e
. Calculando (apresento os totais já obtidos num nível de aproximação suficiente para uma boa estimação):
As fórmulas dos coeficientes da regressão são
Substituindo os números:
Passo 6
Portanto a equação linearizada (logit) encontrada é, aproximadamente,
Voltando à forma sigmoide explícita:
Essa é a equação do modelo sigmóide ajustado (estimei
e
por mínimos quadrados na forma logit com
como preditora).
Passo 7
(c) Agora calculo o percentual previsto pelo modelo para
.
Primeiro
. Então
Logo
Passo 8
Comparação e comentário final (curto e objetivo):
- Pelo item (a) (interpolação linear entre 110 e 141{,}6) obtivemos
. - Pelo modelo sigmoide ajustado (item (b)) obtivemos
.
A diferença é de aproximadamentepontos percentuais; a interpolação linear usa apenas os dois vizinhos e “segue a reta” entre 110 e 141{,}6, já o modelo sigmoide é um ajuste global que suaviza o perfil e reflete a tendência de toda a amostra (por isso pode dar um valor um pouco diferente).
Resposta
(a)
(b) \
(c) (diferença em relação a (a):
pontos percentuais).
(b)
(c)