A peneiração de uma amostra de grãos de milho gerou o seguinte perfil de distribuição granulométrica:
\mathrm{d}(\mu \mathrm{m}) 35,2 70,0 100 110 141,6 200
\mathrm{X}(\%) 8 20 35 60 85 90
(a) Determine o percentual de partículas com diâmetro menor 120 \mu \mathrm{~m}.
(b) Determine a equação do modelo Sigmóide.
(c) Calcule o percentual de partículas menores que 120 \mu \mathrm{~m}. Compare e comente em relação ao valor determinado no item (a).

Passo 1

O enunciado dá uma peneiração (distribuição cumulativa) com os pares diâmetro \mathrm{d} (em \mum) e percentual acumulado X (em %). Eu extraí os dados da tabela do enunciado (estou usando exatamente esses números):
\begin{array}{c|c} \mathrm{d}\;(\mu\mathrm{m}) & X\;(\%)\\hline 35{,}2 & 8\\\\ 70{,}0 & 20\\\\ 100 & 35\\\\ 110 & 60\\\\ 141{,}6 & 85\\\\ 200 & 90 \end{array}
O problema pede:
(a) determinar o percentual de partículas com diâmetro menor que 120\\ \mu\mathrm{m} (usando os dados brutos — eu vou usar interpolação linear entre as peneiras adjacentes);
(b) determinar a equação do modelo sigmoide;
(c) calcular o percentual menor que 120\\ \mu\mathrm{m} usando esse modelo sigmoide e comparar com o item (a).

Passo 2

(a) Como 120\\ \mu\mathrm{m} está entre 110\\ \mu\mathrm{m} (onde X=60\%) e 141{,}6\\ \mu\mathrm{m} (onde X=85\%), faço interpolação linear simples entre esses dois pontos. A ideia da interpolação linear: assumimos que entre os dois pontos X varia linearmente com d. A fórmula da reta entre (d_1,X_1) e (d_2,X_2) é
X(d)=X_1 + \frac{X_2-X_1}{d_2-d_1}\,(d-d_1).
Aqui d_1=110, X_1=60, d_2=141{,}6, X_2=85 e queremos d=120.

Passo 3

Calculo escalar da interpolação:
\text{slope}=\frac{X_2-X_1}{d_2-d_1}=\frac{85-60}{141{,}6-110}=\frac{25}{31{,}6}\approx 0{,}791139\ldots
X(120)=60 + 0{,}791139\cdot(120-110)=60 + 0{,}791139\cdot 10 \approx 60 + 7{,}91139 \approx 67{,}91139\%.
Arredondando razoavelmente: X(120)\approx 67{,}91\% (ou ≈ 67{,}9\%).

Passo 4

(b) Agora vamos ajustar um modelo sigmoide. Explico o método antes de calcular: muitos perfis granulométricos têm forma logistic-like quando se plota o percentual acumulado em função do logaritmo do diâmetro. Então é comum linearizar usando a transformação “logit” e usar \ln(d) como variável explicativa, isto é:
\text{logit}\bigg(\frac{X}{100}\bigg)=\ln\!\left(\frac{X}{100-X}\right)=a + b\ln(d).
Por que isso? Porque a função logística em \ln(d) tem a forma
X(d)=\frac{100}{1+\exp\big(-\big(a + b\ln(d)\big)\big)},
e ao aplicar \ln\!\big(\frac{X}{100-X}\big) obtemos uma relação linear em \ln(d), o que nos permite usar regressão linear simples (método dos mínimos quadrados) para estimar a e b. Vou mostrar passo a passo como calcular a e b com os dados fornecidos.

Passo 5

Primeiro calculo, para cada linha, y=\ln\!\big(\dfrac{X}{100-X}\big) e x=\ln(d).
Usando os dados da tabela:
\begin{array}{c|c|c} d & x=\ln(d) & y=\ln\!\big(\dfrac{X}{100-X}\big)\\hline 35{,}2 & 3{,}560976 & -2{,}442347\\\\ 70{,}0 & 4{,}248495 & -1{,}386294\\\\ 100 & 4{,}605170 & -0{,}619039\\\\ 110 & 4{,}700480 & 0{,}405465\\\\ 141{,}6 & 4{,}952727 & 1{,}734601\\\\ 200 & 5{,}298317 & 2{,}197225 \end{array}
Agora aplico fórmulas da regressão linear simples y = a + b x. Preciso de \sum x, \sum y, \sum x^2 e \sum x y. Calculando (apresento os totais já obtidos num nível de aproximação suficiente para uma boa estimação):
\begin{aligned} n&=6,\\\ \sum x &\approx 27{,}366164,\\\ \sum y &\approx -0{,}110389,\\\ \sum x^2 &\approx 126{,}6284,\\\ \sum xy &\approx 4{,}6862. \end{aligned}
As fórmulas dos coeficientes da regressão são
b=\frac{n\sum(xy)-(\sum x)(\sum y)}{n\sum x^2 - (\sum x)^2}, \qquad a=\frac{\sum y - b\sum x}{n}.
Substituindo os números:
b\approx\frac{6\cdot 4{,}6862 - 27{,}366164\cdot(-0{,}110389)}{6\cdot 126{,}6284 - (27{,}366164)^2}\approx 2{,}863,
a\approx\frac{-0{,}110389 - 2{,}863\cdot 27{,}366164}{6}\approx -13{,}077.

Passo 6

Portanto a equação linearizada (logit) encontrada é, aproximadamente,
\ln\!\left(\frac{X}{100-X}\right) = -13{,}077 + 2{,}863\;\ln(d).
Voltando à forma sigmoide explícita:
X(d)=\frac{100}{1+\exp\big(-\big(-13{,}077 + 2{,}863\ln(d)\big)\big)}.
Essa é a equação do modelo sigmóide ajustado (estimei a e b por mínimos quadrados na forma logit com \ln(d) como preditora).

Passo 7

(c) Agora calculo o percentual previsto pelo modelo para d=120\\ \mu\mathrm{m}.
Primeiro \ln(120)\approx 4{,}787492. Então
s = a + b\ln(120) \approx -13{,}077 + 2{,}863\cdot 4{,}787492 \approx 0{,}62979.
Logo
X(120)=\frac{100}{1+\exp(-s)}=\frac{100}{1+\exp(-0{,}62979)}\approx \frac{100}{1+0{,}5330}\approx 65{,}23\%.

Passo 8

Comparação e comentário final (curto e objetivo):
  • Pelo item (a) (interpolação linear entre 110 e 141{,}6) obtivemos X(120)\approx 67{,}91\%.
  • Pelo modelo sigmoide ajustado (item (b)) obtivemos X(120)\approx 65{,}23\%.
    A diferença é de aproximadamente 2{,}68 pontos percentuais; a interpolação linear usa apenas os dois vizinhos e “segue a reta” entre 110 e 141{,}6, já o modelo sigmoide é um ajuste global que suaviza o perfil e reflete a tendência de toda a amostra (por isso pode dar um valor um pouco diferente).

Resposta

(a) 67{,}91\%
(b) \displaystyle \ln\!\left(\frac{X}{100-X}\right) = -13{,}077 + 2{,}863\;\ln(d) \
\displaystyle\text{ou}\quad X(d)=\frac{100}{1+\exp\big(-\big(-13{,}077 + 2{,}863\ln(d)\big)\big)}
(c) 65{,}23\% (diferença em relação a (a): 67{,}91\% - 65{,}23\% \approx 2{,}68 pontos percentuais).

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