Calcule a velocidade de translação da Terra para um observador situado no Sol.
Passo 1
O que o problema pede e quais dados vamos usar.
- Pedido: calcular a velocidade de translação (velocidade orbital média) da Terra vista por um observador situado no Sol — ou seja, a rapidez com que a Terra descreve sua órbita ao redor do Sol, medida no referencial do Sol.
- Informação que vamos assumir (valores padrão usados em problemas):
- raio médio da órbita (semi-eixo maior) da Terra:
. Vou pegar esse valor como dado. - período orbital (ano sideral médio):
.
- raio médio da órbita (semi-eixo maior) da Terra:
- Observação sobre aproximação: a órbita da Terra é ligeiramente elíptica (excentricidade
), mas para calcular a velocidade média é usual aproximar por uma órbita circular de raio . Também mostrarei a fórmula física exata para velocidades em periélio/apélio usando a equação vis-viva, para quem quiser ver a variação real.
Passo 2
Método direto geométrico (fórmula e ideia): velocidade média = comprimento da órbita / período.
- Ideia: em aproximação circular, a Terra percorre uma circunferência de raio
em um tempo . A distância percorrida em uma volta é o comprimento da circunferência . Logo a velocidade média escalar é
- Explicando a fórmula:
-
é a velocidade média (m/s). -
é o raio médio da órbita (m). -
é o período orbital (s). -
é o comprimento da circunferência (m).
-
- Agora substituímos os valores numéricos (mostrando as contas passo a passo):
- Primeiro calcule o numerador:
Usando obtemos , então - Agora divida pelo período:
Para dividir potências de dez: , então Fazendo a divisão aproximada , obtemos - Convertendo para km/s (dividindo por
):
- Interpretação: esse é o valor médio da velocidade orbital da Terra em relação ao Sol (aprox.
).
Passo 3
Método físico alternativo (força centrípeta = gravitação) — derivação e uso da constante gravitacional.
- Ideia física: para uma órbita aproximadamente circular, a força gravitacional fornece a força centrípeta necessária para manter a Terra em movimento circular. Igualando as duas forças:
onde:
-
é a constante gravitacional universal ( ), -
é a massa do Sol ( ), -
é a massa da Terra (cancela-se), -
é a distância Terra–Sol (aproximamos por ), -
é a velocidade orbital (o que queremos). - Reorganizando a igualdade para
:
- Substituindo
e os valores numéricos: - Calcule
:
- Divida por
:
- Raiz quadrada:
- Calcule
- Conclusão física: o resultado obtido por equilíbrio de forças coincide (dentro de erros de arredondamento) com o valor geométrico anterior. Isso é esperado: para uma órbita quase circular as duas abordagens dão o mesmo valor.
Passo 4
Variação da velocidade devido à excentricidade (valores em periélio e afélio) — pequena aula prática.
- A órbita da Terra tem excentricidade
, então a velocidade não é exatamente constante: é maior no periélio e menor no afélio. A equação de vis-viva dá a velocidade em qualquer distância :
- Em particular, em periélio
e em afélio . A partir da equação acima pode-se mostrar (algumas simplificações) que
onde
é a velocidade média circular que já calculamos.
- Substituindo
e : -
(periélio, velocidade máxima). -
(afélio, velocidade mínima).
-
- Comentário: a variação é pequena (cerca de
ao redor de ).
Passo 5
Resumo final e interpretação prática (como usar isso numa prova).
- Fórmula simples e rápida para lembrar em prova (aproximação circular):
- Valores que normalmente se usam:
-
, , .
-
- Resultado numérico (valor médio, arredondado): a Terra orbita o Sol a aproximadamente
. Isso significa que, do ponto de vista do Sol, a Terra se desloca quase a cada segundo ao longo de sua órbita — rápido, mas muito menor que a velocidade da luz, por exemplo.