Calcule a velocidade de translação da Terra para um observador situado no Sol.

Passo 1

O que o problema pede e quais dados vamos usar.
  • Pedido: calcular a velocidade de translação (velocidade orbital média) da Terra vista por um observador situado no Sol — ou seja, a rapidez com que a Terra descreve sua órbita ao redor do Sol, medida no referencial do Sol.
  • Informação que vamos assumir (valores padrão usados em problemas):
    • raio médio da órbita (semi-eixo maior) da Terra: a = 1\\ \text{UA} = 1,496\times10^{11}\\ \mathrm{m}. Vou pegar esse valor como dado.
    • período orbital (ano sideral médio): T = 1\\ \text{ano} = 365,25\\ \text{dias} = 31\,557\,600\\ \mathrm{s}.
  • Observação sobre aproximação: a órbita da Terra é ligeiramente elíptica (excentricidade e\approx0,0167), mas para calcular a velocidade média é usual aproximar por uma órbita circular de raio a. Também mostrarei a fórmula física exata para velocidades em periélio/apélio usando a equação vis-viva, para quem quiser ver a variação real.

Passo 2

Método direto geométrico (fórmula e ideia): velocidade média = comprimento da órbita / período.
  • Ideia: em aproximação circular, a Terra percorre uma circunferência de raio a em um tempo T. A distância percorrida em uma volta é o comprimento da circunferência \,2\pi a. Logo a velocidade média escalar é
v = \frac{2\pi a}{T}.
  • Explicando a fórmula:
    • \,v é a velocidade média (m/s).
    • \,a é o raio médio da órbita (m).
    • \,T é o período orbital (s).
    • \,2\pi a é o comprimento da circunferência (m).
  • Agora substituímos os valores numéricos (mostrando as contas passo a passo):
    • Primeiro calcule o numerador:
    2\pi a \approx 2\cdot\pi\cdot\left(1,496\times10^{11}\right)\\ \mathrm{m}.Usando \pi\approx3,14159265 obtemos 2\pi\approx6,2831853, então 2\pi a \approx 6,2831853 \times 1,496\times10^{11} \approx 9,399645\times10^{11}\\ \mathrm{m}.
    • Agora divida pelo período:
    v \approx \frac{9,399645\times10^{11}}{31\,557\,600}\\ \mathrm{m/s}.Para dividir potências de dez: 31\,557\,600 \approx 3,15576\times10^{7}, então v \approx \frac{9,399645}{3,15576}\times10^{4}\\ \mathrm{m/s}.Fazendo a divisão aproximada 9,399645/3,15576\approx2,9785, obtemos v \approx 2,9785\times10^{4}\\ \mathrm{m/s} = 29\,785\\ \mathrm{m/s}.
  • Convertendo para km/s (dividindo por 1000):
v \approx 29,785\\ \mathrm{m/s} \approx 29,785\\ \mathrm{m/s}\times\frac{1\\ \mathrm{km}}{1000\\ \mathrm{m}} \approx 29,785\\ \mathrm{km/s}\approx 29,8\\ \mathrm{km/s}.
  • Interpretação: esse é o valor médio da velocidade orbital da Terra em relação ao Sol (aprox. 29,8\\ \mathrm{km/s}).

Passo 3

Método físico alternativo (força centrípeta = gravitação) — derivação e uso da constante gravitacional.
  • Ideia física: para uma órbita aproximadamente circular, a força gravitacional fornece a força centrípeta necessária para manter a Terra em movimento circular. Igualando as duas forças:
\frac{G M_{\odot} m}{r^{2}} = \frac{m v^{2}}{r},
onde:
  • G é a constante gravitacional universal ( G \approx 6,67430\times10^{-11}\\ \mathrm{m^{3}kg^{-1}s^{-2}}),
  • M_{\odot} é a massa do Sol ( M_{\odot}\approx 1,9885\times10^{30}\\ \mathrm{kg}),
  • m é a massa da Terra (cancela-se),
  • r é a distância Terra–Sol (aproximamos por a),
  • v é a velocidade orbital (o que queremos).
  • Reorganizando a igualdade para v:
v = \sqrt{\frac{G M_{\odot}}{r}}.
  • Substituindo r=a e os valores numéricos:
    • Calcule G M_{\odot}:
    G M_{\odot} \approx (6,67430\times10^{-11})\cdot(1,9885\times10^{30}) \approx 1,3271846\times10^{20}\\ \mathrm{m^{3}s^{-2}}.
    • Divida por r=a=1,496\times10^{11}\\ \mathrm{m}:
    \frac{G M_{\odot}}{a} \approx \frac{1,3271846\times10^{20}}{1,496\times10^{11}} \approx 8,879\times10^{8}\\ \mathrm{m^{2}s^{-2}}.
    • Raiz quadrada:
    v \approx \sqrt{8,879\times10^{8}}\\ \mathrm{m/s} \approx 2,9798\times10^{4}\\ \mathrm{m/s} \approx 29\,798\\ \mathrm{m/s}\approx 29,8\\ \mathrm{km/s}.
  • Conclusão física: o resultado obtido por equilíbrio de forças coincide (dentro de erros de arredondamento) com o valor geométrico anterior. Isso é esperado: para uma órbita quase circular as duas abordagens dão o mesmo valor.

Passo 4

Variação da velocidade devido à excentricidade (valores em periélio e afélio) — pequena aula prática.
  • A órbita da Terra tem excentricidade \,e\approx0,0167, então a velocidade não é exatamente constante: é maior no periélio e menor no afélio. A equação de vis-viva dá a velocidade em qualquer distância r:
v = \sqrt{GM_{\odot}\left(\frac{2}{r}-\frac{1}{a}\right)}.
  • Em particular, em periélio r_{p}=a(1-e) e em afélio r_{a}=a(1+e). A partir da equação acima pode-se mostrar (algumas simplificações) que
v_{p} = v_{\text{circ}}\sqrt{\frac{1+e}{1-e}},\qquad v_{a} = v_{\text{circ}}\sqrt{\frac{1-e}{1+e}},
onde v_{\text{circ}}=\sqrt{GM_{\odot}/a} é a velocidade média circular que já calculamos.
  • Substituindo e=0,0167 e v_{\text{circ}}\approx29,8\\ \mathrm{km/s}:
    • v_{p}\approx29,8\\ \mathrm{km/s}\times\sqrt{\dfrac{1,0167}{0,9833}}\approx30,29\\ \mathrm{km/s} (periélio, velocidade máxima).
    • v_{a}\approx29,8\\ \mathrm{km/s}\times\sqrt{\dfrac{0,9833}{1,0167}}\approx29,29\\ \mathrm{km/s} (afélio, velocidade mínima).
  • Comentário: a variação é pequena (cerca de \pm 0,5\\ \mathrm{km/s} ao redor de 29,8\\ \mathrm{km/s}).

Passo 5

Resumo final e interpretação prática (como usar isso numa prova).
  • Fórmula simples e rápida para lembrar em prova (aproximação circular):
v \approx \frac{2\pi a}{T}\quad\text{ou}\quad v \approx \sqrt{\frac{G M_{\odot}}{a}}.
  • Valores que normalmente se usam:
    • a = 1,496\times10^{11}\\ \mathrm{m}, T=3,15576\times10^{7}\\ \mathrm{s}, G M_{\odot}\approx1,3271\times10^{20}\\ \mathrm{m^{3}s^{-2}}.
  • Resultado numérico (valor médio, arredondado): a Terra orbita o Sol a aproximadamente 29,8\\ \mathrm{km/s}. Isso significa que, do ponto de vista do Sol, a Terra se desloca quase 30\\ \mathrm{km} a cada segundo ao longo de sua órbita — rápido, mas muito menor que a velocidade da luz, por exemplo.

Resposta

29,8\\ \mathrm{km/s}

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