Questão:
Ache o movimento resultante de dois movimentos harmônicos simples na mesma direção, dados por:
. Represente graficamente os respectivos vetores girantes.
Passo 1
O enunciado fornece dois movimentos harmônicos simples (MHS) na mesma direção e pede duas coisas:
- Calcular o movimento resultante
. - Representar graficamente os vetores girantes correspondentes (phasors) dos dois MHS e do resultante.
Informações dadas:
-
. -
.
Passo 2
Primeiro vamos pôr ambas as funções numa mesma forma trigonométrica (preferencialmente em cosseno com argumento
) para comparar fases facilmente.
Usamos a identidade
. Assim,
Portanto podemos reescrever
Passo 3
Agora convertemos
para cosseno. Usamos a identidade
. Então
Como
, obtemos
Usando novamente
, concluímos
Passo 4
Comparando as formas obtidas vemos que os dois movimentos são idênticos:
Logo a soma é direta:
Isto já é o movimento resultante: um MHS com amplitude
e desfase
.
Passo 5
Agora, uma aula rápida e prática sobre vetores girantes (phasors), para entender e desenhar graficamente:
- Representação: um MHS
corresponde à projeção horizontal de um vetor girante (phasor) de magnitude que, no instante , forma um ângulo com o eixo vertical positivo ou, alternativamente, cujo vetor fixo inicial (em ) tem direção e gira com velocidade angular no sentido anti-horário. - Conexão complexa (opcional, mas conceitual):
. O coeficiente é o phasor fixo cuja rotação produz o movimento.
Passo 6
Aplicando isso aos nossos sinais:
- Para
e temos e . - O phasor inicial (em
) de cada um aponta na direção (ou seja, abaixo do eixo horizontal de referência se preferir visualizar assim) e tem comprimento . - Como os dois phasors são iguais, ao somá-los vetor a vetor o resultante é um phasor na mesma direção com comprimento
. Assim o phasor resultante tem magnitude e fase (ou direção inicial ).
Passo 7
Como verificação numérica simples:
- Em
: , , então . - Pela expressão resultante:
. Consistente.
Passo 8
Como desenhar explicitamente (passo a passo para a prova, sem calculadora):
- Faça um eixo cartesiano com origem no centro (ponto de rotação).
- Desenhe dois vetores de comprimento
formando ângulo (ou ) medidos a partir do eixo de referência escolhido (normalmente eixo que representa a fase zero). - Os dois vetores coincidem; desenhe então o vetor resultante com comprimento
na mesma direção. - A projeção horizontal (ou na direção escolhida para o deslocamento) desses vetores, conforme eles giram com velocidade angular
, dá a função temporal .
Resposta
Os vetores girantes individuais têm magnitude