7{ }^{\text {a }} Questão:

Ache o movimento resultante de dois movimentos harmônicos simples na mesma direção, dados por: x_{1}=\cos \left(\frac{\pi}{3}-\omega t\right), x_{2}=\operatorname{sen}\left(\omega t+\frac{\pi}{6}\right). Represente graficamente os respectivos vetores girantes.

Passo 1

O enunciado fornece dois movimentos harmônicos simples (MHS) na mesma direção e pede duas coisas:
  • Calcular o movimento resultante x(t)=x_{1}(t)+x_{2}(t).
  • Representar graficamente os vetores girantes correspondentes (phasors) dos dois MHS e do resultante.
Informações dadas:
  • x_{1}(t)=\cos\!\left(\frac{\pi}{3}-\omega t\right).
  • x_{2}(t)=\operatorname{sen}\!\left(\omega t+\frac{\pi}{6}\right).

Passo 2

Primeiro vamos pôr ambas as funções numa mesma forma trigonométrica (preferencialmente em cosseno com argumento \omega t-\varphi) para comparar fases facilmente.
Usamos a identidade \cos(-\theta)=\cos\theta. Assim,
\cos\!\left(\frac{\pi}{3}-\omega t\right) = \cos\!\bigl(-(\omega t - \tfrac{\pi}{3})\bigr) = \cos\!\left(\omega t - \tfrac{\pi}{3}\right).
Portanto podemos reescrever
x_{1}(t)=\cos\!\left(\omega t - \tfrac{\pi}{3}\right).

Passo 3

Agora convertemos x_{2}(t) para cosseno. Usamos a identidade \operatorname{sen}\theta=\cos\!\bigl(\tfrac{\pi}{2}-\theta\bigr). Então
\operatorname{sen}\!\left(\omega t+\tfrac{\pi}{6}\right)=\cos\!\left(\tfrac{\pi}{2}-(\omega t+\tfrac{\pi}{6})\right) =\cos\!\left(\tfrac{\pi}{2}-\omega t-\tfrac{\pi}{6}\right).
Como \tfrac{\pi}{2}-\tfrac{\pi}{6}=\tfrac{\pi}{3}, obtemos
x_{2}(t)=\cos\!\left(\tfrac{\pi}{3}-\omega t\right).
Usando novamente \cos\!\left(\tfrac{\pi}{3}-\omega t\right)=\cos\!\left(\omega t-\tfrac{\pi}{3}\right), concluímos
x_{2}(t)=\cos\!\left(\omega t-\tfrac{\pi}{3}\right).

Passo 4

Comparando as formas obtidas vemos que os dois movimentos são idênticos:
x_{1}(t)=\cos\!\left(\omega t-\tfrac{\pi}{3}\right),\qquad x_{2}(t)=\cos\!\left(\omega t-\tfrac{\pi}{3}\right).
Logo a soma é direta:
x(t)=x_{1}(t)+x_{2}(t)=2\cos\!\left(\omega t-\tfrac{\pi}{3}\right).
Isto já é o movimento resultante: um MHS com amplitude 2 e desfase \tfrac{\pi}{3}.

Passo 5

Agora, uma aula rápida e prática sobre vetores girantes (phasors), para entender e desenhar graficamente:
  • Representação: um MHS \displaystyle x(t)=A\cos\!\left(\omega t-\varphi\right) corresponde à projeção horizontal de um vetor girante (phasor) de magnitude A que, no instante t, forma um ângulo \omega t-\varphi com o eixo vertical positivo ou, alternativamente, cujo vetor fixo inicial (em t=0) tem direção -\varphi e gira com velocidade angular \omega no sentido anti-horário.
  • Conexão complexa (opcional, mas conceitual): \displaystyle x(t)=\Re\{A e^{i(\omega t-\varphi)}\}=\Re\{(A e^{-i\varphi})e^{i\omega t}\}. O coeficiente A e^{-i\varphi} é o phasor fixo cuja rotação produz o movimento.

Passo 6

Aplicando isso aos nossos sinais:
  • Para x_{1} e x_{2} temos A_{1}=A_{2}=1 e \varphi_{1}=\varphi_{2}=\tfrac{\pi}{3}.
  • O phasor inicial (em t=0) de cada um aponta na direção -\tfrac{\pi}{3} (ou seja, -60^\circ abaixo do eixo horizontal de referência se preferir visualizar assim) e tem comprimento 1.
  • Como os dois phasors são iguais, ao somá-los vetor a vetor o resultante é um phasor na mesma direção com comprimento 2. Assim o phasor resultante tem magnitude 2 e fase \tfrac{\pi}{3} (ou direção inicial -\tfrac{\pi}{3}).

Passo 7

Como verificação numérica simples:
  • Em t=0: x_{1}(0)=\cos(\tfrac{\pi}{3})=\tfrac{1}{2}, x_{2}(0)=\operatorname{sen}(\tfrac{\pi}{6})=\tfrac{1}{2}, então x(0)=1.
  • Pela expressão resultante: x(0)=2\cos(-\tfrac{\pi}{3})=2\cdot\tfrac{1}{2}=1. Consistente.

Passo 8

Como desenhar explicitamente (passo a passo para a prova, sem calculadora):
  1. Faça um eixo cartesiano com origem no centro (ponto de rotação).
  2. Desenhe dois vetores de comprimento 1 formando ângulo -\tfrac{\pi}{3} (ou -60^\circ) medidos a partir do eixo de referência escolhido (normalmente eixo que representa a fase zero).
  3. Os dois vetores coincidem; desenhe então o vetor resultante com comprimento 2 na mesma direção.
  4. A projeção horizontal (ou na direção escolhida para o deslocamento) desses vetores, conforme eles giram com velocidade angular \omega, dá a função temporal 2\cos\!\left(\omega t-\tfrac{\pi}{3}\right).

Resposta

x(t)=2\cos\!\left(\omega t-\tfrac{\pi}{3}\right)
Os vetores girantes individuais têm magnitude 1 e fase \tfrac{\pi}{3} (ou direção inicial -\tfrac{\pi}{3}); o vetor resultante tem magnitude 2 e a mesma fase \tfrac{\pi}{3}.

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