3^{\text {a }} Questão:

Um pêndulo simples consiste de uma massa m pendurada a partir de um ponto fixo por um fio de massa desprezível, inextensível, de comprimento l. Seja g a aceleração da gravidade local e \theta o ângulo entre o pêndulo e a direção vertical. No que segue, faça sempre a aproximação de pequenos ângulos. (a) Escreva a equação de movimento desprezando o atrito. Obtenha a frequência natural \omega do pêndulo. (b) Determine \theta(\mathrm{t}) para as seguintes condições iniciais: \theta(0)=0 e \frac{d \theta}{d t}(0)=\Omega.

Passo 1

O enunciado diz o seguinte (vou listar ponto a ponto o que foi dado e o que é pedido):
  • Dado: um pêndulo simples com massa \,m, fio inextensível de comprimento \,l e aceleração da gravidade \,g.
  • Definição: \theta é o ângulo entre o fio e a vertical.
  • Aproximação exigida: sempre usar a aproximação de pequenos ângulos.
  • Perguntas:
    (a) Escrever a equação de movimento desprezando atrito e obter a frequência natural \omega.
    (b) Determinar \theta(t) com as condições iniciais \theta(0)=0 e \dfrac{d\theta}{dt}(0)=\Omega (onde \Omega é a velocidade angular inicial dada).

Passo 2

Entendendo as forças e momentos no pêndulo (passo-chave para escrever a equação de movimento).
  • A força restauradora que tende a trazer a massa para a posição vertical é a componente tangencial do peso. O peso é \,m g apontando para baixo.
  • A componente tangencial do peso (ao longo da trajetória circular) tem magnitude \,m g \sin\theta e aponta no sentido que reduz \theta. Portanto o torque (momento) em relação ao ponto de suspensão tem magnitude \tau = - (m g)\, l \sin\theta. O sinal negativo indica que o torque tende a diminuir \theta.
  • Para movimento rotacional em torno do ponto fixo, a equação de movimento é dada pela segunda lei de Newton para rotações:
I\,\frac{d^2\theta}{dt^2} = \tau,
onde I é o momento de inércia da massa em relação ao ponto de suspensão.
  • Para uma massa pontual m a uma distância l do pivô, o momento de inércia é
I = m l^2.

Passo 3

Linearização pela aproximação de pequenos ângulos.
  • A equação exata seria
m l^2 \frac{d^2\theta}{dt^2} = - m g l \sin\theta.
  • Cancelando m l (não zero) obtemos
l \frac{d^2\theta}{dt^2} = - g \sin\theta.
  • Para pequenos ângulos usamos a aproximação (é a parte “linearização”):
\sin\theta \approx \theta \quad\text{quando}\quad |\theta|\ll 1 \\ (\text{em radianos}).
  • Substituindo essa aproximação na equação, temos a equação linear:
l \frac{d^2\theta}{dt^2} = - g \theta.
  • Dividindo por l resulta na forma padrão:
\frac{d^2\theta}{dt^2} + \frac{g}{l}\,\theta = 0.

Passo 4

Interpretando a equação e definindo a frequência natural.
  • A equação
\frac{d^2\theta}{dt^2} + \frac{g}{l}\,\theta = 0
é a equação diferencial de um oscilador harmônico linear sem amortecimento. A solução tem frequência angular natural \omega dada por
\omega^2 = \frac{g}{l},
ou seja
\omega = \sqrt{\frac{g}{l}}.
  • Aqui \omega tem unidade de rad/s e determina a rapidez das oscilações. O período T da oscilação é T = \dfrac{2\pi}{\omega} = 2\pi\sqrt{\dfrac{l}{g}} (apenas como referência).

Passo 5

Resolução geral da equação diferencial e aplicação das condições iniciais.
  • A equação linear homogênea de segunda ordem tem solução geral (forma conhecida para oscilador harmônico):
\theta(t) = A\cos(\omega t) + B\sin(\omega t),
onde \omega=\sqrt{\dfrac{g}{l}} e A,B são constantes determinadas por condições iniciais.
  • Aplicar \theta(0)=0:
\theta(0) = A\cos 0 + B\sin 0 = A\cdot 1 + B\cdot 0 = A,
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A = 0.
  • Derivar \theta(t) para obter a velocidade angular:
\frac{d\theta}{dt}(t) = -A\omega\sin(\omega t) + B\omega\cos(\omega t).
  • Aplicar a condição \dfrac{d\theta}{dt}(0)=\Omega:
\frac{d\theta}{dt}(0) = -A\omega\cdot 0 + B\omega\cdot 1 = B\omega = \Omega.
Portanto
B = \frac{\Omega}{\omega}.

Passo 6

Montando a solução particular com as constantes encontradas e interpretando.
  • Com A=0 e B=\dfrac{\Omega}{\omega} a solução fica (vou apresentar a forma final apenas na seção de resposta, conforme pedido):
Observações finais rápidas para a prova: lembre-se que \sin\theta\approx\theta só vale para \theta em radianos e pequenos; em problemas de prova, sempre verifique unidades e indique que a frequência natural depende só de g e l, não da massa m.

Resposta

\displaystyle \frac{d^2\theta}{dt^2} + \frac{g}{l}\,\theta = 0,\qquad \omega=\sqrt{\frac{g}{l}}
\displaystyle \theta(t)=\frac{\Omega}{\omega}\sin(\omega t)

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