Questão:
Um pêndulo simples consiste de uma massa
pendurada a partir de um ponto fixo por um fio de massa desprezível, inextensível, de comprimento
. Seja
a aceleração da gravidade local e
o ângulo entre o pêndulo e a direção vertical. No que segue, faça sempre a aproximação de pequenos ângulos. (a) Escreva a equação de movimento desprezando o atrito. Obtenha a frequência natural
do pêndulo. (b) Determine
para as seguintes condições iniciais:
e
.
Passo 1
O enunciado diz o seguinte (vou listar ponto a ponto o que foi dado e o que é pedido):
- Dado: um pêndulo simples com massa
, fio inextensível de comprimento e aceleração da gravidade . - Definição:
é o ângulo entre o fio e a vertical. - Aproximação exigida: sempre usar a aproximação de pequenos ângulos.
- Perguntas:
(a) Escrever a equação de movimento desprezando atrito e obter a frequência natural.
(b) Determinarcom as condições iniciais e (onde é a velocidade angular inicial dada).
Passo 2
Entendendo as forças e momentos no pêndulo (passo-chave para escrever a equação de movimento).
- A força restauradora que tende a trazer a massa para a posição vertical é a componente tangencial do peso. O peso é
apontando para baixo. - A componente tangencial do peso (ao longo da trajetória circular) tem magnitude
e aponta no sentido que reduz . Portanto o torque (momento) em relação ao ponto de suspensão tem magnitude . O sinal negativo indica que o torque tende a diminuir . - Para movimento rotacional em torno do ponto fixo, a equação de movimento é dada pela segunda lei de Newton para rotações:
onde
é o momento de inércia da massa em relação ao ponto de suspensão.
- Para uma massa pontual
a uma distância do pivô, o momento de inércia é
Passo 3
Linearização pela aproximação de pequenos ângulos.
- A equação exata seria
- Cancelando
(não zero) obtemos
- Para pequenos ângulos usamos a aproximação (é a parte “linearização”):
- Substituindo essa aproximação na equação, temos a equação linear:
- Dividindo por
resulta na forma padrão:
Passo 4
Interpretando a equação e definindo a frequência natural.
- A equação
é a equação diferencial de um oscilador harmônico linear sem amortecimento. A solução tem frequência angular natural
dada por
ou seja
- Aqui
tem unidade de rad/s e determina a rapidez das oscilações. O período da oscilação é (apenas como referência).
Passo 5
Resolução geral da equação diferencial e aplicação das condições iniciais.
- A equação linear homogênea de segunda ordem tem solução geral (forma conhecida para oscilador harmônico):
onde
e
são constantes determinadas por condições iniciais.
- Aplicar
:
logo
- Derivar
para obter a velocidade angular:
- Aplicar a condição
:
Portanto
Passo 6
Montando a solução particular com as constantes encontradas e interpretando.
- Com
e a solução fica (vou apresentar a forma final apenas na seção de resposta, conforme pedido):
Observações finais rápidas para a prova: lembre-se que
só vale para
em radianos e pequenos; em problemas de prova, sempre verifique unidades e indique que a frequência natural depende só de
e
, não da massa
.