Cálcule e verifique sua resposta por derivação.
\int\left(\cos 3 x+\frac{1}{2} \sin 4 x\right) d x

Passo 1

O enunciado pede calcular
\int\bigl(\cos 3x + \tfrac12 \sin 4x\bigr)\,dx
e depois verificar o resultado por derivação. O conteúdo aqui é a integração de funções trigonométricas básicas, usando as fórmulas
\int \cos(a x)\,dx = \frac{1}{a}\sin(a x)+C \quad\text{e}\quad \int \sin(a x)\,dx = -\frac{1}{a}\cos(a x)+C.

Passo 2

Vamos integrar o primeiro termo, \cos 3x. Aplicando
\int \cos 3x\,dx = \frac{1}{3}\sin 3x + C_1.

Passo 3

Agora o segundo termo, \tfrac12\sin 4x. Como é constante vezes \sin, temos
\int \tfrac12 \sin 4x\,dx = \tfrac12 \int \sin 4x\,dx = \tfrac12\Bigl(-\frac{1}{4}\cos 4x\Bigr) + C_2 = -\frac{1}{8}\cos 4x + C_2.

Passo 4

Somando os dois resultados e juntando as constantes em uma só, obtemos
F(x) = \frac{1}{3}\sin 3x \;-\;\frac{1}{8}\cos 4x + C.

Passo 5

Para verificar, derivamos F(x):
F'(x) = \frac{1}{3}\cdot 3\cos 3x \;-\;\frac{1}{8}\cdot(-4)\sin 4x = \cos 3x + \tfrac12 \sin 4x,
que é exatamente o integrando. Portanto a antiderivada está correta.

Resposta

\boxed{F(x)=\frac{1}{3}\sin 3x \;-\;\frac{1}{8}\cos 4x + C.}

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