A reta \mathscr{L}_{1} passa pelos pontos (1,0,1) e 2,1,2, a reta \mathscr{L}_{2} passa por (0,0,0) e na direção de (1,0,2). Determinar a \mathscr{L}_{3} que passa por (2,0,-3) e que é ortogonal a \mathscr{L}_{1} e \mathscr{L}_{2}.

Passo 1

O enunciado dá duas retas em \mathbb{R}^3: \mathscr{L}_{1} passa por (1,0,1) e (2,1,2). \mathscr{L}_{2} passa por (0,0,0) e tem direção (1,0,2).
Queremos a reta \mathscr{L}_{3} que passe por (2,0,-3) e seja ortogonal a ambas.
Conteúdo: geometria analítica—produto vetorial e condição de ortogonalidade de vetores.

Passo 2

Obtemos os vetores diretores de \mathscr{L}_{1} e \mathscr{L}_{2}:
o vetor diretor de \mathscr{L}_{1} é
v_{1}=(2,1,2)-(1,0,1)=(1,1,1),
e o de \mathscr{L}_{2} é
v_{2}=(1,0,2).

Passo 3

Para que \mathscr{L}_{3} seja ortogonal a \mathscr{L}_{1} e \mathscr{L}_{2}, seu vetor diretor v_{3} deve satisfazer
v_{3}\cdot v_{1}=0 \quad\text{e}\quad v_{3}\cdot v_{2}=0.
Um vetor que cumpre isso é o produto vetorial
v_{3}=v_{1}\times v_{2}=(1,1,1)\times(1,0,2)=(2,-1,-1).

Passo 4

A reta \mathscr{L}_{3} passa pelo ponto P_{3}=(2,0,-3) e tem vetor diretor v_{3}=(2,-1,-1).
Logo, sua equação paramétrica é
\mathscr{L}_{3}:\quad(x,y,z)=(2,0,-3)+t\,(2,-1,-1),\quad t\in\mathbb{R}.

Resposta

\mathscr{L}_{3}:\;(x,y,z)=(2,0,-3)+t\,(2,-1,-1),\quad t\in\mathbb{R}.

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