Verifique que \sin ^{2} x=\frac{2}{2}-\frac{1}{2} \cos 2 x e calcule \int \sin ^{2} x d x

Passo 1

O enunciado nos pede para verificar a identidade
\sin^{2}x = \frac{2}{2} - \frac{1}{2}\cos2x
e em seguida calcular
\int \sin^{2}x \,dx.
Para isso, vamos usar a identidade de ângulo duplo
\cos2x = 1 - 2\sin^{2}x.

Passo 2

A partir de
\cos2x = 1 - 2\sin^{2}x
isolamos \sin^{2}x. Subtraindo 1 e dividindo por -2, temos
\sin^{2}x = \frac{1 - \cos2x}{2}.
Reescrevendo o numerador como 2/2 - \cos2x/2, obtemos
\sin^{2}x = \frac{2}{2} - \frac{1}{2}\cos2x,
que era o que queríamos verificar.

Passo 3

Para calcular a integral, substituímos a identidade encontrada:
\int \sin^{2}x \,dx = \int\Bigl(\tfrac{1}{2} - \tfrac{1}{2}\cos2x\Bigr)\,dx = \frac{1}{2}\int dx \;-\;\frac{1}{2}\int \cos2x\,dx.

Passo 4

Calculamos as duas integrais separadamente:
\frac{1}{2}\int dx = \frac{x}{2},
\int \cos2x\,dx = \frac{1}{2}\sin2x,
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\frac{1}{2}\int \cos2x\,dx = \frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}\sin2x = \frac{\sin2x}{4}.
Substituindo de volta,
\int \sin^{2}x \,dx = \frac{x}{2} - \frac{\sin2x}{4} + C.

Resposta

\int \sin^{2}x \,dx = \frac{x}{2} \;-\;\frac{\sin2x}{4} + C.

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