Cálcule e verifique sua resposta por derivação.
\int\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{e^{x}}\right) d x

Passo 1

O enunciado pede calcular
\int\Bigl(\frac{1}{x}+\frac{1}{e^{x}}\Bigr)\,dx.
Vamos usar a linearidade da integral para separar em
\int\frac{1}{x}\,dx \quad\text{e}\quad \int\frac{1}{e^{x}}\,dx
e aplicar as fórmulas básicas de integração.

Passo 2

Para o primeiro termo, sabemos que
\int \frac{1}{x}\,dx = \ln\lvert x\rvert.

Passo 3

No segundo termo, observe que
\frac{1}{e^{x}} = e^{-x},
portanto
\int e^{-x}\,dx = -\,e^{-x}.

Passo 4

Somando as duas integrais e incluindo a constante C, o antiderivado geral é
F(x) = \ln\lvert x\rvert - e^{-x} + C.

Passo 5

Verificamos por derivação:
F'(x) = \frac{d}{dx}\bigl(\ln\lvert x\rvert\bigr) - \frac{d}{dx}\bigl(e^{-x}\bigr) = \frac{1}{x} - \bigl(-e^{-x}\bigr) = \frac{1}{x} + e^{-x} = \frac{1}{x} + \frac{1}{e^{x}},
que é exatamente o integrando original.

Resposta

\ln\lvert x\rvert - e^{-x} + C

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