Calcule o vetor gradiente e a derivada direcional de
, em
, na direção do vetor
.
Passo 1
O enunciado nos dá a função
, o ponto
e o vetor de direção
(escrito como
).
As perguntas são:
As perguntas são:
- Calcular o vetor gradiente
no ponto . - Calcular a derivada direcional de
em na direção de .
Passo 2
O que é o gradiente e como calculá‑lo (explicação didática).
O gradiente de uma função é o vetor formado pelas derivadas parciais em relação a
e a
. Ele aponta na direção de maior crescimento de
e sua definição é
O gradiente de uma função
Derivada parcial significa: deriva-se
em relação a uma variável mantendo a outra fixa. Aqui usaremos a regra da cadeia e a regra do power rule (potência): se
então
; aplicando a
aparece um fator extra
ou
.
Passo 3
Calcular as derivadas parciais de
.
Para :
Para
Para
:
Portanto o gradiente geral é
Passo 4
Avaliar o gradiente em
. Primeiro calcule
em
:
Então
. Substituindo:
Passo 5
O que é a derivada direcional e como usá‑la (explicação).
A derivada direcional de em
na direção de um vetor unitário
é o produto escalar entre o gradiente e
:
A derivada direcional de
Importante: a fórmula exige que o vetor de direção seja unitário. Se o vetor dado não for unitário, deve‑se normalizá‑lo.
Passo 6
Verificar se
é unitário e calcular a derivada direcional.
Norma de :
Norma de
Como
já tem norma
, podemos usá‑la como
. Agora o produto escalar:
Calcule componente a componente:
Simplificando, como
e
, obtemos