Calcule o vetor gradiente e a derivada direcional de \mathrm{f}(\mathrm{x}, \mathrm{y})=\frac{1}{x^{2}+y^{2}}, em \mathrm{P}(3,2), na direção do vetor \mathrm{v}=<\frac{5}{13} i+\frac{12}{13} j>.

Passo 1

O enunciado nos dá a função f(x,y)=\dfrac{1}{x^{2}+y^{2}}, o ponto P(3,2) e o vetor de direção \mathbf{v}=\big\langle \dfrac{5}{13},\dfrac{12}{13}\big\rangle (escrito como \dfrac{5}{13}\mathbf{i}+\dfrac{12}{13}\mathbf{j}).
As perguntas são:
  • Calcular o vetor gradiente \nabla f no ponto P(3,2).
  • Calcular a derivada direcional de f em P(3,2) na direção de \mathbf{v}.

Passo 2

O que é o gradiente e como calculá‑lo (explicação didática).
O gradiente de uma função f(x,y) é o vetor formado pelas derivadas parciais em relação a x e a y. Ele aponta na direção de maior crescimento de f e sua definição é
\nabla f(x,y)=\left(\dfrac{\partial f}{\partial x},\,\dfrac{\partial f}{\partial y}\right).
Derivada parcial significa: deriva-se f em relação a uma variável mantendo a outra fixa. Aqui usaremos a regra da cadeia e a regra do power rule (potência): se g(t)=t^{-1} então g'(t)=-t^{-2}; aplicando a t=x^{2}+y^{2} aparece um fator extra 2x ou 2y.

Passo 3

Calcular as derivadas parciais de f(x,y)= (x^{2}+y^{2})^{-1}.
Para x:
\dfrac{\partial f}{\partial x} = -1\cdot (x^{2}+y^{2})^{-2}\cdot \dfrac{d}{dx}(x^{2}+y^{2}) = -(x^{2}+y^{2})^{-2}\cdot 2x = -\dfrac{2x}{(x^{2}+y^{2})^{2}}.
Para y:
\dfrac{\partial f}{\partial y} = -\dfrac{2y}{(x^{2}+y^{2})^{2}}.
Portanto o gradiente geral é
\nabla f(x,y)=\left\langle -\dfrac{2x}{(x^{2}+y^{2})^{2}},\, -\dfrac{2y}{(x^{2}+y^{2})^{2}}\right\rangle.

Passo 4

Avaliar o gradiente em P(3,2). Primeiro calcule x^{2}+y^{2} em P:
3^{2}+2^{2}=9+4=13.
Então (x^{2}+y^{2})^{2}=13^{2}=169. Substituindo:
\nabla f(3,2)=\left\langle -\dfrac{2\cdot 3}{169},\, -\dfrac{2\cdot 2}{169}\right\rangle =\left\langle -\dfrac{6}{169},\, -\dfrac{4}{169}\right\rangle.

Passo 5

O que é a derivada direcional e como usá‑la (explicação).
A derivada direcional de f em P na direção de um vetor unitário \mathbf{u} é o produto escalar entre o gradiente e \mathbf{u}:
D_{\mathbf{u}}f(P)=\nabla f(P)\cdot \mathbf{u}.
Importante: a fórmula exige que o vetor de direção seja unitário. Se o vetor dado não for unitário, deve‑se normalizá‑lo.

Passo 6

Verificar se \mathbf{v} é unitário e calcular a derivada direcional.
Norma de \mathbf{v}:
\|\mathbf{v}\|=\sqrt{\left(\dfrac{5}{13}\right)^{2}+\left(\dfrac{12}{13}\right)^{2}} =\sqrt{\dfrac{25+144}{169}}=\sqrt{\dfrac{169}{169}}=1.
Como \mathbf{v} já tem norma 1, podemos usá‑la como \mathbf{u}. Agora o produto escalar:
D_{\mathbf{v}}f(3,2)=\nabla f(3,2)\cdot \mathbf{v} =\left\langle -\dfrac{6}{169}, -\dfrac{4}{169}\right\rangle\cdot\left\langle \dfrac{5}{13},\dfrac{12}{13}\right\rangle.
Calcule componente a componente:
D_{\mathbf{v}}f(3,2) = -\dfrac{6}{169}\cdot \dfrac{5}{13} \;+\; -\dfrac{4}{169}\cdot \dfrac{12}{13} = -\dfrac{30+48}{169\cdot 13} = -\dfrac{78}{2197}.
Simplificando, como 78=6\cdot 13 e 2197=13^{3}, obtemos
-\dfrac{78}{2197}=-\dfrac{6}{169}.

Resposta

\nabla f(3,2)=\big\langle -\dfrac{6}{169},-\dfrac{4}{169}\big\rangle
D_{\mathbf{v}}f(3,2)=-\dfrac{6}{169}

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