Calcule o vetor gradiente e a derivada direcional de f(x, y)=x^{2} y+2 x y^{2}, em P(1,2), na direção do vetor \mathrm{u}=\left\langle\frac{1}{2} i+\frac{\sqrt{3}}{2} j\right\rangle

Passo 1

O enunciado nos dá a função e os pontos/direção e pede duas coisas. Informações fornecidas:
  • A função é f(x,y)=x^{2}y+2xy^{2}.
  • O ponto onde precisamos avaliar é P(1,2).
  • O vetor direção é \mathbf{u}=\left\langle \tfrac{1}{2}\,\mathbf{i}+\tfrac{\sqrt{3}}{2}\,\mathbf{j}\right\rangle, que corresponde ao vetor em componentes \mathbf{u}=\left\langle \tfrac{1}{2},\tfrac{\sqrt{3}}{2}\right\rangle.
O que o enunciado pede:
  • Calcular o vetor gradiente de f em P(1,2), ou seja \nabla f(1,2).
  • Calcular a derivada direcional de f em P(1,2) na direção do vetor \mathbf{u}, ou seja D_{\mathbf{u}}f(1,2).

Passo 2

Entender o que é o gradiente e como calculá-lo (aulas rápidas e práticas).
  • Definição: o gradiente de f(x,y) é o vetor formado pelas derivadas parciais de f. Em notação,
\nabla f(x,y)=\left\langle \frac{\partial f}{\partial x},\frac{\partial f}{\partial y}\right\rangle.
  • Significado das derivadas parciais: \frac{\partial f}{\partial x} é a taxa de variação de f quando apenas x varia e y é tratado como constante; análoga interpretação para \frac{\partial f}{\partial y}.
  • Regra prática para derivar termos do tipo produto: se tiver um produto g(x,y)=h(x) \cdot k(y) e derivamos em relação a x, tratamos k(y) como constante e derivamos h(x). Para soma, derivamos termo a termo.
Agora aplicando isso a f(x,y)=x^{2}y+2xy^{2}:
  • Para \frac{\partial f}{\partial x}: trate y como constante.
    • Derivada de x^{2}y em relação a x é 2x y (porque y é constante e deriva-se x^2 dando 2x).
    • Derivada de 2xy^{2} em relação a x é 2y^{2} (porque y^{2} é constante e deriva-se 2x dando 2).
    • Portanto
    \frac{\partial f}{\partial x}=2xy+2y^{2}.
  • Para \frac{\partial f}{\partial y}: trate x como constante.
    • Derivada de x^{2}y em relação a y é x^{2} (porque x^{2} é constante e deriva-se y dando 1).
    • Derivada de 2xy^{2} em relação a y é 4xy (porque 2x é constante e deriva-se y^{2} dando 2y, então 2x\cdot 2y=4xy).
    • Portanto
    \frac{\partial f}{\partial y}=x^{2}+4xy.

Passo 3

Avaliar as derivadas parciais no ponto P(1,2).
  • Substituindo x=1 e y=2 em \frac{\partial f}{\partial x}=2xy+2y^{2}:
\frac{\partial f}{\partial x}(1,2)=2\cdot 1\cdot 2 + 2\cdot (2)^{2}=4+8=12.
  • Substituindo em \frac{\partial f}{\partial y}=x^{2}+4xy:
\frac{\partial f}{\partial y}(1,2)=1^{2}+4\cdot 1\cdot 2=1+8=9.
  • Montando o gradiente em P(1,2):
\nabla f(1,2)=\left\langle 12,9\right\rangle.

Passo 4

Entender a definição da derivada direcional e verificar a normalização do vetor direção.
  • Fórmula: se \mathbf{u} é um vetor unitário, a derivada direcional de f em P na direção \mathbf{u} é o produto escalar entre o gradiente e \mathbf{u}:
D_{\mathbf{u}}f(P)=\nabla f(P)\cdot \mathbf{u}.
  • Se o vetor dado não for unitário, deve-se primeiro normalizá-lo dividindo pelo seu comprimento; aqui é preciso verificar se o vetor \mathbf{u}=\left\langle \tfrac{1}{2},\tfrac{\sqrt{3}}{2}\right\rangle já é unitário.
  • Calcular o comprimento (norma) de \mathbf{u}:
\|\mathbf{u}\|=\sqrt{\left(\tfrac{1}{2}\right)^{2}+\left(\tfrac{\sqrt{3}}{2}\right)^{2}} =\sqrt{\tfrac{1}{4}+\tfrac{3}{4}}=\sqrt{1}=1.
Portanto \mathbf{u} já é um vetor unitário, então podemos usar diretamente a fórmula do produto escalar.

Passo 5

Calcular a derivada direcional como produto escalar.
  • Produto escalar entre \nabla f(1,2)=\langle 12,9\rangle e \mathbf{u}=\left\langle \tfrac{1}{2},\tfrac{\sqrt{3}}{2}\right\rangle:
D_{\mathbf{u}}f(1,2)=12\cdot \tfrac{1}{2} + 9\cdot \tfrac{\sqrt{3}}{2} =6+\tfrac{9\sqrt{3}}{2}.
  • Essa é a expressão exata da derivada direcional. Se quiser uma aproximação numérica rápida, \tfrac{9\sqrt{3}}{2}\approx \tfrac{9\cdot 1{,}732}{2}\approx \tfrac{15{,}588}{2}\approx 7{,}794, então D_{\mathbf{u}}f(1,2)\approx 13{,}794. (A aproximação é só para intuição; a resposta exata é preferível.)

Resposta

\nabla f(1,2)=\left\langle 12,9\right\rangle
D_{\mathbf{u}}f(1,2)=6+\dfrac{9\sqrt{3}}{2}

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