Calcule o vetor gradiente e a derivada direcional de
, em
, na direção do vetor
Passo 1
O enunciado nos dá a função e os pontos/direção e pede duas coisas. Informações fornecidas:
- A função é
. - O ponto onde precisamos avaliar é
. - O vetor direção é
, que corresponde ao vetor em componentes .
O que o enunciado pede:
- Calcular o vetor gradiente de
em , ou seja . - Calcular a derivada direcional de
em na direção do vetor , ou seja .
Passo 2
Entender o que é o gradiente e como calculá-lo (aulas rápidas e práticas).
- Definição: o gradiente de
é o vetor formado pelas derivadas parciais de . Em notação,
- Significado das derivadas parciais:
é a taxa de variação de quando apenas varia e é tratado como constante; análoga interpretação para . - Regra prática para derivar termos do tipo produto: se tiver um produto
e derivamos em relação a , tratamos como constante e derivamos . Para soma, derivamos termo a termo.
Agora aplicando isso a
:
- Para
: trate como constante. - Derivada de
em relação a é (porque é constante e deriva-se dando ). - Derivada de
em relação a é (porque é constante e deriva-se dando ). - Portanto
- Derivada de
- Para
: trate como constante. - Derivada de
em relação a é (porque é constante e deriva-se dando ). - Derivada de
em relação a é (porque é constante e deriva-se dando , então ). - Portanto
- Derivada de
Passo 3
Avaliar as derivadas parciais no ponto
.
- Substituindo
e em :
- Substituindo em
:
- Montando o gradiente em
:
Passo 4
Entender a definição da derivada direcional e verificar a normalização do vetor direção.
- Fórmula: se
é um vetor unitário, a derivada direcional de em na direção é o produto escalar entre o gradiente e :
- Se o vetor dado não for unitário, deve-se primeiro normalizá-lo dividindo pelo seu comprimento; aqui é preciso verificar se o vetor
já é unitário. - Calcular o comprimento (norma) de
:
Portanto
já é um vetor unitário, então podemos usar diretamente a fórmula do produto escalar.
Passo 5
Calcular a derivada direcional como produto escalar.
- Produto escalar entre
e :
- Essa é a expressão exata da derivada direcional. Se quiser uma aproximação numérica rápida,
, então . (A aproximação é só para intuição; a resposta exata é preferível.)