Encontre a equação do plano do grafico \mathrm{g}(\mathrm{x}, \mathrm{y})=3 x^{4} \mathrm{y}-7 x^{3} \mathrm{y}-\mathrm{x}^{2}+\mathrm{y}+1 no ponto (1,2,-6).

Passo 1

O enunciado nos dá a função do gráfico
g(x,y)=3x^{4}y-7x^{3}y-x^{2}+y+1
e o ponto (1,2,-6). O que se pede é a equação do plano do gráfico de g no ponto dado — isto é, a equação do plano tangente à superfície z=g(x,y) no ponto (x_0,y_0,z_0)=(1,2,-6).
Informações relevantes fornecidas:
  • A função g(x,y) está acima.
  • O ponto de contato é (x_0,y_0,z_0)=(1,2,-6).
  • Verificação rápida: g(1,2)=3\cdot1^{4}\cdot2-7\cdot1^{3}\cdot2-1^{2}+2+1=-6, logo o ponto realmente pertence ao gráfico.

Passo 2

Fórmula do plano tangente (linearização) em (x_0,y_0): se z=g(x,y) é diferenciável em (x_0,y_0), então o plano tangente é dado por
z=g(x_0,y_0)+g_x(x_0,y_0)\,(x-x_0)+g_y(x_0,y_0)\,(y-y_0),
onde g_x e g_y são as derivadas parciais de g em relação a x e y, respectivamente. Explicando rápido: g_x mede a inclinação do gráfico na direção x (mantendo y fixo) e g_y mede a inclinação na direção y (mantendo x fixo). Vamos calcular essas derivadas e avaliá‑las em (1,2).

Passo 3

Cálculo de g_x(x,y). Derivamos termo a termo tratando y como constante quando derivamos em relação a x.
  • Derivada de 3x^{4}y em relação a x: usar a regra do produto ou notar que y é constante, então \dfrac{\partial}{\partial x}(x^{4}y)=4x^{3}y. Multiplicando pelo coeficiente 3 12x^{3}y.
  • Derivada de -7x^{3}y: -7\cdot 3x^{2}y=-21x^{2}y.
  • Derivada de -x^{2}: -2x.
  • Derivadas de +y e +1 em relação a x são zero (são constantes quanto a x).
Portanto
g_x(x,y)=12x^{3}y-21x^{2}y-2x.
Observação curta sobre regra do produto (para fixar): se h(x)=u(x)\,v com v constante, então h'(x)=u'(x)\,v. No caso u(x)=x^{4} e v=y, deu 4x^{3}y.

Passo 4

Cálculo de g_y(x,y). Agora derivamos em relação a y, tratando x como constante.
  • Derivada de 3x^{4}y em relação a y: 3x^{4}.
  • Derivada de -7x^{3}y: -7x^{3}.
  • Derivada de -x^{2} em relação a y é zero.
  • Derivada de +y é 1.
  • Derivada de +1 é zero.
Assim
g_y(x,y)=3x^{4}-7x^{3}+1.

Passo 5

Avaliar g, g_x e g_y em (x_0,y_0)=(1,2).
  • Já checamos g(1,2)=-6.
  • Calcular g_x(1,2):
g_x(1,2)=12\cdot1^{3}\cdot2-21\cdot1^{2}\cdot2-2\cdot1=24-42-2=-20.
  • Calcular g_y(1,2):
g_y(1,2)=3\cdot1^{4}-7\cdot1^{3}+1=3-7+1=-3.
Portanto os coeficientes de inclinação no ponto são g_x(1,2)=-20 e g_y(1,2)=-3.

Passo 6

Montar o plano tangente usando a fórmula do Passo 2:
z=g(1,2)+g_x(1,2)(x-1)+g_y(1,2)(y-2).
Substituindo os valores:
z=-6+(-20)(x-1)+(-3)(y-2).
Agora expandir e simplificar passo a passo:
z=-6-20x+20-3y+6.
Somando constantes: -6+20+6=20. Logo
z=-20x-3y+20.
Forma alternativa (padrão da equação do plano):
20x+3y+z=20.

Resposta

z=-20x-3y+20

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