Encontre a equação do plano do grafico
no ponto
.
Passo 1
O enunciado nos dá a função do gráfico
e o ponto
. O que se pede é a equação do plano do gráfico de
no ponto dado — isto é, a equação do plano tangente à superfície
no ponto
.
Informações relevantes fornecidas:
Informações relevantes fornecidas:
- A função
está acima. - O ponto de contato é
. - Verificação rápida:
, logo o ponto realmente pertence ao gráfico.
Passo 2
Fórmula do plano tangente (linearização) em
: se
é diferenciável em
, então o plano tangente é dado por
onde
e
são as derivadas parciais de
em relação a
e
, respectivamente. Explicando rápido:
mede a inclinação do gráfico na direção
(mantendo
fixo) e
mede a inclinação na direção
(mantendo
fixo). Vamos calcular essas derivadas e avaliá‑las em
.
Passo 3
Cálculo de
. Derivamos termo a termo tratando
como constante quando derivamos em relação a
.
- Derivada de
em relação a : usar a regra do produto ou notar que é constante, então . Multiplicando pelo coeficiente dá . - Derivada de
: . - Derivada de
: . - Derivadas de
e em relação a são zero (são constantes quanto a ).
Portanto
Observação curta sobre regra do produto (para fixar): se
com
constante, então
. No caso
e
, deu
.
Passo 4
Cálculo de
. Agora derivamos em relação a
, tratando
como constante.
- Derivada de
em relação a : . - Derivada de
: . - Derivada de
em relação a é zero. - Derivada de
é . - Derivada de
é zero.
Assim
Passo 5
Avaliar
,
e
em
.
- Já checamos
. - Calcular
:
- Calcular
:
Portanto os coeficientes de inclinação no ponto são
e
.
Passo 6
Montar o plano tangente usando a fórmula do Passo 2:
Substituindo os valores:
Agora expandir e simplificar passo a passo:
Somando constantes:
. Logo
Forma alternativa (padrão da equação do plano):