Calcule o vetor gradiente de f(x, y)=3 x^2+2 x y+ln (x+y) no ponto (1,1)

Passo 1

O enunciado pede o vetor gradiente de uma função de duas variáveis
f(x,y)=3x^2+2xy+ln(x+y)
no ponto (1,1).
Conteúdo: derivadas parciais e definição do gradiente
nabla f(x,y) = l(fx(x,y),,fy(x,y)r).

Passo 2

Calcular a derivada parcial de f em relação a x.
Para
f(x,y)=3x^2+2xy+ln(x+y)
temos
fx(x,y) =partialpartial xl(3x^2r) +partialpartial xl(2xyr) +partialpartial xl(ln(x+y)r) =6x+2y+1x+y

Passo 3

Calcular a derivada parcial de f em relação a y.
Para
f(x,y)=3x^2+2xy+ln(x+y)
temos
fy(x,y) =partialpartial yl(3x^2r) +partialpartial yl(2xyr) +partialpartial yl(ln(x+y)r) =0+2x+1x+y =2x+1x+y

Passo 4

Avaliar fx e fy no ponto (1,1), onde x+y=2:
fx(1,1)=6cdot1+2cdot1+12=6+2+12=172,
fy(1,1)=2cdot1+12=2+12=52

Resposta

O vetor gradiente é
nabla f(1,1)=gl(172,;52gr)

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