Dada a função f(x, y)=2 x^2 y-2 x y^2, calcule uma aproximação linear para o acréscimo de f quando (x, y) passa de (1,1) para (1.01,1.02). Calcule o erro da aproximação linear.

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x,y)=2x^2y-2xy^2
e pede a aproximação linear do acréscimo de f quando (x,y) vai de (1,1) a (1,01,1,02), além do erro dessa aproximação. O conteúdo é diferencial total e aproximação linear de funções de duas variáveis.

Passo 2

Para uma função de duas variáveis, o acréscimo aproximado (diferencial) é
De<a L = fx(x0,y0),De<a x + fy(x0,y0),De<a y
onde De<a x e De<a y são as pequenas variações em x e y.

Passo 3

Calculamos as derivadas parciais de f(x,y):
fx(x,y)=partialpartial xl(2x^2y-2xy^2r)=4xy-2y^2
fy(x,y)=partialpartial yl(2x^2y-2xy^2r)=2x^2-4xy

Passo 4

Temos De<a x=1,01-1=0,01 e De<a y=1,02-1=0,02. Avaliando as parciais em (1,1):
fx(1,1)=4cdot1cdot1-2cdot1^2=2, fy(1,1)=2cdot1^2-4cdot1cdot1=-2

Passo 5

Aproximação linear do acréscimo:
De<a L = 2cdot0,01 + (-2)cdot0,02 = 0,02 - 0,04 = -0,02

Passo 6

Calculamos o incremento exato. Primeiro f(1,1)=0. Depois:
f(1,01,1,02) =2,(1,01)^2,(1,02);-;2,(1,01),(1,02)^2 approx -0,020604
Logo o acréscimo real é
De<a f = f(1,01,1,02)-f(1,1)approx -0,020604

Passo 7

O erro da aproximação linear é
Erro = De<a f - De<a L approx -0,020604 - (-0,02) = -0,000604

Resposta

A aproximação linear do acréscimo de f é -0,02 e o erro dessa aproximação é aproximadamente -0,000604.

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