Dada a função
, calcule uma aproximação linear para o acréscimo de f quando
passa de
para
. Calcule o erro da aproximação linear.
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede a aproximação linear do acréscimo de
quando
vai de
a
, além do erro dessa aproximação. O conteúdo é diferencial total e aproximação linear de funções de duas variáveis.
Passo 2
Para uma função de duas variáveis, o acréscimo aproximado (diferencial) é
onde
e
são as pequenas variações em
e
.
Passo 3
Calculamos as derivadas parciais de
:
Passo 4
Temos
e
. Avaliando as parciais em
:
Passo 5
Aproximação linear do acréscimo:
Passo 6
Calculamos o incremento exato. Primeiro
. Depois:
Logo o acréscimo real é
Passo 7
O erro da aproximação linear é
Resposta
A aproximação linear do acréscimo de
é
e o erro dessa aproximação é aproximadamente
.