Calcule o vetor gradiente nos pontos que existe das funções abaixo
b) f(x, y)=e^{x} \cos y.

Passo 1

O enunciado pede para calcular o vetor gradiente da função
f(x,y)=e^{x}\cos y.
O conteúdo é derivada parcial e vetor gradiente. Vamos usar a definição de gradiente em termos de derivadas parciais de f.

Passo 2

O vetor gradiente de uma função f(x,y) é dado por
\nabla f(x,y)=\biggl(\frac{\partial f}{\partial x},\,\frac{\partial f}{\partial y}\biggr).
Precisamos, então, calcular \frac{\partial f}{\partial x} e \frac{\partial f}{\partial y}.

Passo 3

Derivando f(x,y)=e^{x}\cos y em relação a x, tratando y como constante:
\frac{\partial f}{\partial x}(x,y) =\frac{\partial}{\partial x}\bigl(e^{x}\cos y\bigr) =e^{x}\cos y.

Passo 4

Derivando f(x,y)=e^{x}\cos y em relação a y, tratando x como constante:
\frac{\partial f}{\partial y}(x,y) =\frac{\partial}{\partial y}\bigl(e^{x}\cos y\bigr) =e^{x}\,\frac{d}{dy}(\cos y) =-e^{x}\sin y.

Passo 5

As componentes do vetor gradiente são exatamente as derivadas parciais encontradas em cada direção. Elas existem para todo ponto (x,y)\in\mathbb{R}^2.

Resposta

\nabla f(x,y)=\bigl(e^{x}\cos y,\,-e^{x}\sin y\bigr),
que está definido para todo (x,y)\in\mathbb{R}^2.

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