Calcule o vetor gradiente nos pontos que existe das funções abaixo
a) f(x, y)=x^{2}+y^{2} \operatorname{sen}(x y).

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x,y)=x^{2}+y^{2}\sin(xy)
e pede o vetor gradiente \nabla f(x,y)=(\partial f/\partial x,\;\partial f/\partial y) nos pontos onde ele existe. Como f é formada por polinômios e pelas funções \sin e \cos compostas, suas derivadas parciais existem e são contínuas em todo \mathbb{R}^{2}.

Passo 2

Para obter \partial f/\partial x, aplicamos a regra da soma e a regra do produto em y^{2}\sin(xy):
\frac{\partial}{\partial x}\bigl(x^{2}\bigr)=2x,
\frac{\partial}{\partial x}\bigl(y^{2}\sin(xy)\bigr) =y^{2}\,\frac{d}{dx}\bigl(\sin(xy)\bigr) =y^{2}\cos(xy)\,\frac{\partial}{\partial x}(xy) =y^{2}\cos(xy)\cdot y.

Passo 3

Juntando os termos de \partial f/\partial x, temos
\frac{\partial f}{\partial x} =2x+y^{3}\cos(xy).

Passo 4

Para \partial f/\partial y, novamente soma e produto em y^{2}\sin(xy):
\frac{\partial}{\partial y}\bigl(x^{2}\bigr)=0,
\frac{\partial}{\partial y}\bigl(y^{2}\sin(xy)\bigr) =2y\,\sin(xy)+y^{2}\cos(xy)\,\frac{\partial}{\partial y}(xy) =2y\sin(xy)+y^{2}\cos(xy)\cdot x.

Passo 5

Portanto
\frac{\partial f}{\partial y} =2y\sin(xy)+x\,y^{2}\cos(xy).
Como essas derivadas parciais são contínuas para todo (x,y)\in\mathbb{R}^{2}, o gradiente existe em todo \mathbb{R}^{2}.

Resposta

\nabla f(x,y)=\Bigl(2x+y^{3}\cos(xy),\;2y\sin(xy)+x\,y^{2}\cos(xy)\Bigr).

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