Seja f(x, y)=\left\{\begin{array}{ll}\frac{x y^{2}}{x^{2}+y^{4}}+\operatorname{sen}(x+3 y) & \text { se }(x, y) \neq(0,0) \\\\ 0 & \text { se }(x, y)=(0,0)\end{array}\right..
(a) Mostre que as derivadas parciais \frac{\partial f}{\partial x} e \frac{\partial f}{\partial y} existem em todos os pontos.
(b) f é contínua na origem?
(c) f é diferenciável na origem?
2. Seja f(x, y)=\left\{\begin{array}{ll}\left(x^{2}+y^{2}\right) \operatorname{sen}\left(\frac{1}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}\right) & \text { se }(x, y) \neq(0,0) \\\\ 0 & \text { se }(x, y)=(0,0)\end{array}\right..
(a) Mostre que f é diferenciável na origem.
(b) As derivadas \frac{\partial f}{\partial x} e \frac{\partial f}{\partial y} são contínuas na origem?

Passo 1

Estamos no contexto de funções de duas variáveis. No Exercício 1,
definimos
f(x,y)= \begin{cases} \dfrac{x\,y^{2}}{x^{2}+y^{4}}+\operatorname{sen}(x+3y),&(x,y)\neq(0,0),\\\\ 0,&(x,y)=(0,0), \end{cases}
e precisamos (a) mostrar que as derivadas parciais existem em todos os pontos, (b) decidir se f\) é contínua na origem e \text{(c)} se \(f\) é diferenciável na origem. No Exercício 2, definimos \[g(x,y)= \begin{cases} \bigl(x^{2}+y^{2}\bigr)\operatorname{sen}\bigl(\tfrac{1}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}\bigr),&(x,y)\neq(0,0),\\\\ 0,&(x,y)=(0,0), \end{cases}
e precisamos (a) mostrar que g\] é diferenciável na origem e (b) verificar se \(\partial g/\partial x e \partial g/\partial y são contínuas na origem.

Passo 2

Para (x,y)\neq(0,0), a função f é soma e quociente de funções diferenciáveis cujo denominador x^{2}+y^{4} nunca zera fora da origem. Logo, por regras usuais do cálculo, \partial f/\partial x e \partial f/\partial y existem em todo ponto (x,y)\neq(0,0).

Passo 3

Na origem usamos a definição de derivada parcial.
Para \partial f/\partial x em (0,0):
\frac{\partial f}{\partial x}(0,0) =\lim_{h\to0}\frac{f(h,0)-f(0,0)}{h} =\lim_{h\to0}\frac{\operatorname{sen}(h)}{h} =1.
Para \partial f/\partial y em (0,0):
\frac{\partial f}{\partial y}(0,0) =\lim_{k\to0}\frac{f(0,k)-f(0,0)}{k} =\lim_{k\to0}\frac{\operatorname{sen}(3k)}{k} =3.
Logo as derivadas parciais existem também na origem.

Passo 4

Para ver se f é contínua em (0,0) estudamos \lim_{(x,y)\to(0,0)}f(x,y).
Escolhendo a curva y^{2}=x (isto é, y=\pm\sqrt{x}), temos
\frac{x\,y^{2}}{x^{2}+y^{4}} =\frac{x\cdot x}{x^{2}+x^{2}} =\frac{x^{2}}{2x^{2}} =\frac12,
enquanto \operatorname{sen}(x+3y)\to0. Portanto, ao longo dessa curva \lim f(x,y)=\tfrac12\neq0=f(0,0). Concluímos que f não é contínua na origem.

Passo 5

Como a diferenciabilidade implica continuidade, e já vimos que f não é contínua em (0,0), segue-se que f não é diferenciável na origem.

Passo 6

Agora, no Exercício 2, temos
g(x,y)= \begin{cases} r^{2}\,\operatorname{sen}\bigl(\tfrac1r\bigr),&r=\sqrt{x^{2}+y^{2}}\neq0,\\\\ 0,&r=0, \end{cases}
e queremos (a) mostrar que g é diferenciável em (0,0) e (b) verificar a continuidade das derivadas parciais na origem.

Passo 7

Primeiro determinamos as derivadas parciais em (0,0) pelo limite:
\frac{\partial g}{\partial x}(0,0) =\lim_{h\to0}\frac{g(h,0)-0}{h} =\lim_{h\to0}\frac{h^{2}\operatorname{sen}(1/|h|)}{h} =\lim_{h\to0}h\,\operatorname{sen}(1/|h|)=0.
Analogamente \partial g/\partial y(0,0)=0. O candidato à diferencial linear é L(x,y)=0.

Passo 8

Para diferenciabilidade avaliamos o erro
\frac{g(x,y)-L(x,y)}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}} =\frac{r^{2}\operatorname{sen}(1/r)}{r} =r\,\operatorname{sen}(1/r),
cujo valor absoluto é \bigl|r\,\operatorname{sen}(1/r)\bigr|\le r\to0 quando r\to0. Assim o resto sobre \|(x,y)\| tende a zero, mostrando que g é diferenciável na origem.

Passo 9

Por fim, determinamos \partial g/\partial x para (x,y)\neq(0,0) usando derivação direta em polares:
\frac{\partial g}{\partial x} =2x\,\operatorname{sen}\bigl(\tfrac1r\bigr) - x\,\frac1r\cos\bigl(\tfrac1r\bigr).
O segundo termo x\,(1/r)\cos(1/r) oscila sem ter limite quando (x,y)\to(0,0). Logo \partial g/\partial x (e análogo para \partial g/\partial y) não é contínua na origem.

Resposta

1(a) As derivadas parciais existem em todos os pontos e, em particular, \partial f/\partial x(0,0)=1 e \partial f/\partial y(0,0)=3.
1(b) f não é contínua na origem.
1(c) f não é diferenciável na origem.
2(a) g é diferenciável na origem.
2(b) As derivadas parciais de g não são contínuas na origem.

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