Seja f(x, y)=\left\{\begin{array}{ll}\frac{x y^{2}}{x^{2}+y^{4}}+\operatorname{sen}(x+3 y) & \text { se }(x, y) \neq(0,0) \\\\ 0 & \text { se }(x, y)=(0,0)\end{array}\right..
(a) Mostre que as derivadas parciais \frac{\partial f}{\partial x} e \frac{\partial f}{\partial y} existem em todos os pontos.
(b) f é contínua na origem?
(c) f é diferenciável na origem?
2. Seja f(x, y)=\left\{\begin{array}{ll}\left(x^{2}+y^{2}\right) \operatorname{sen}\left(\frac{1}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}\right) & \text { se }(x, y) \neq(0,0) \\\\ 0 & \text { se }(x, y)=(0,0)\end{array}\right..
(a) Mostre que f é diferenciável na origem.
(b) As derivadas \frac{\partial f}{\partial x} e \frac{\partial f}{\partial y} são contínuas na origem?
Passo 1
Estamos no contexto de funções de duas variáveis. No Exercício 1,
definimos
e precisamos (a) mostrar que as derivadas parciais existem em todos os pontos, (b) decidir se f\) é contínua na origem e \text{(c)} se \(f\) é diferenciável na origem.
No Exercício 2, definimos
\[g(x,y)= \begin{cases} \bigl(x^{2}+y^{2}\bigr)\operatorname{sen}\bigl(\tfrac{1}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}\bigr),&(x,y)\neq(0,0),\\\\ 0,&(x,y)=(0,0), \end{cases}
e precisamos (a) mostrar que g\] é diferenciável na origem e (b) verificar se \(\partial g/\partial x e \partial g/\partial y são contínuas na origem.
Passo 2
Para (x,y)\neq(0,0), a função f é soma e quociente de funções diferenciáveis cujo denominador x^{2}+y^{4} nunca zera fora da origem. Logo, por regras usuais do cálculo, \partial f/\partial x e \partial f/\partial y existem em todo ponto (x,y)\neq(0,0).
Passo 3
Na origem usamos a definição de derivada parcial.
Para \partial f/\partial x em (0,0):
cujo valor absoluto é \bigl|r\,\operatorname{sen}(1/r)\bigr|\le r\to0 quando r\to0. Assim o resto sobre \|(x,y)\| tende a zero, mostrando que g é diferenciável na origem.
Passo 9
Por fim, determinamos \partial g/\partial x para (x,y)\neq(0,0) usando derivação direta em polares:
O segundo termo x\,(1/r)\cos(1/r) oscila sem ter limite quando (x,y)\to(0,0). Logo \partial g/\partial x (e análogo para \partial g/\partial y) não é contínua na origem.
Resposta
1(a) As derivadas parciais existem em todos os pontos e, em particular, \partial f/\partial x(0,0)=1 e \partial f/\partial y(0,0)=3.
1(b) f não é contínua na origem.
1(c) f não é diferenciável na origem.
2(a) g é diferenciável na origem.
2(b) As derivadas parciais de g não são contínuas na origem.