Calcule o volume de cada um dos sólidos
Volume =\int_{0}^{1} \int_{0}^{x} \int_{0}^{\sqrt{1-x^{2}}} d z d y d x

Passo 1

O enunciado pede que calculemos o volume dado pela integral
\text{Volume}=\int_{0}^{1}\int_{0}^{x}\int_{0}^{\sqrt{1-x^{2}}}dz\,dy\,dx.
Informações dadas:
  • A integração é feita na ordem dz, depois dy, depois dx.
  • Os limites são x de 0 a 1, para cada x temos y de 0 a x, e para cada (x,y) temos z de 0 a \sqrt{1-x^{2}}.
  • A função que estamos integrando é a função constante 1 (pois o integrando é dz\,dy\,dx sem fator multiplicativo). Portanto a integral calcula diretamente o volume do sólido descrito pelos limites.

Passo 2

Vamos interpretar rapidamente o que cada variável representa no integral e por que integrar nessa ordem funciona:
  • z varia verticalmente de 0 até \sqrt{1-x^{2}}. A expressão \sqrt{1-x^{2}} vem da parte positiva da equação de um círculo x^{2}+z^{2}=1, então para cada x fixo o comprimento em z é \sqrt{1-x^{2}}-0.
  • y varia horizontalmente (num sentido ortogonal a x) de 0 até x, ou seja, para cada x consideramos um segmento em y de comprimento x.
  • x varia de 0 até 1.
    Integrando primeiro em z e depois em y simplificamos o problema passo a passo.

Passo 3

Calcule a integral mais interna em z:
\int_{0}^{\sqrt{1-x^{2}}} dz.
Explicação: integrar 1 em z é simplesmente obter a altura do intervalo em z, ou seja, o valor do limite superior menos o limite inferior. Assim,
\int_{0}^{\sqrt{1-x^{2}}} dz = \sqrt{1-x^{2}}.

Passo 4

Agora substituímos o resultado anterior e calculamos a integral em y:
\int_{0}^{x} \sqrt{1-x^{2}}\, dy.
Explicação: ao integrar em y uma expressão que não depende de y (aqui \sqrt{1-x^{2}} depende só de x), o resultado é essa expressão multiplicada pelo comprimento do intervalo em y, que é x-0=x. Logo
\int_{0}^{x} \sqrt{1-x^{2}}\, dy = x\sqrt{1-x^{2}}.

Passo 5

Reduzimos a integral tripla a uma integral única em x:
\text{Volume}=\int_{0}^{1} x\sqrt{1-x^{2}}\, dx.
Agora precisamos calcular essa integral. Uma técnica eficiente aqui é a substituição (mudar de variável) para simplificar a raiz. Vou explicar a substituição passo a passo.

Passo 6

Escolha da substituição e razão:
  • Tome u=1-x^{2}. Isso serve porque \sqrt{1-x^{2}}=\sqrt{u} e o diferencial du se relaciona com x\,dx.
  • Diferenciando, obtemos du = -2x\,dx, ou seja,
x\,dx = -\frac{1}{2}\,du.
  • Mudança dos limites: quando x=0 temos u=1-0^{2}=1; quando x=1 temos u=1-1^{2}=0.
Aplicando a substituição na integral:
\int_{0}^{1} x\sqrt{1-x^{2}}\, dx = \int_{x=0}^{x=1} x\sqrt{u}\, dx = \int_{u=1}^{u=0} \sqrt{u}\left(-\frac{1}{2}\,du\right).
Trocando os limites para ordem crescente (isso tira o sinal negativo):
\int_{u=1}^{u=0} -\frac{1}{2}u^{1/2}\,du = \frac{1}{2}\int_{0}^{1} u^{1/2}\,du.

Passo 7

Calcule a integral em u:
Explicação da regra de potência para antiderivada: para \int u^{\alpha}\,du com \alpha\neq -1, a antiderivada é \dfrac{u^{\alpha+1}}{\alpha+1}. Aqui \alpha=\tfrac{1}{2}, então
\int u^{1/2}\,du = \frac{u^{3/2}}{3/2} = \frac{2}{3}u^{3/2}.
Portanto
\frac{1}{2}\int_{0}^{1} u^{1/2}\,du = \frac{1}{2}\cdot\left[\frac{2}{3}u^{3/2}\right]_{0}^{1} = \frac{1}{2}\cdot\frac{2}{3}\left(1^{3/2}-0^{3/2}\right).
Simplificando,
\frac{1}{2}\cdot\frac{2}{3} = \frac{1}{3}.

Passo 8

Conclusão: o valor do volume dado pela integral tripla é \dfrac{1}{3}. Dá para interpretar qualitativamente: a região tem base triangular em y- x e teto dado por um semicírculo em x- z; o cálculo reduziu essa geometria complicada a uma integral simples que resultou em 1/3.

Resposta

\dfrac{1}{3}

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