Calcule o volume de cada um dos sólidos
Volume
Volume
Passo 1
O enunciado pede que calculemos o volume dado pela integral
Informações dadas:
- A integração é feita na ordem
, depois , depois . - Os limites são
de a , para cada temos de a , e para cada temos de a . - A função que estamos integrando é a função constante
(pois o integrando é sem fator multiplicativo). Portanto a integral calcula diretamente o volume do sólido descrito pelos limites.
Passo 2
Vamos interpretar rapidamente o que cada variável representa no integral e por que integrar nessa ordem funciona:
-
varia verticalmente de até . A expressão vem da parte positiva da equação de um círculo , então para cada fixo o comprimento em é . -
varia horizontalmente (num sentido ortogonal a ) de até , ou seja, para cada consideramos um segmento em de comprimento . -
varia de até .
Integrando primeiro eme depois em simplificamos o problema passo a passo.
Passo 3
Calcule a integral mais interna em
:
Explicação: integrar
em
é simplesmente obter a altura do intervalo em
, ou seja, o valor do limite superior menos o limite inferior. Assim,
Passo 4
Agora substituímos o resultado anterior e calculamos a integral em
:
Explicação: ao integrar em
uma expressão que não depende de
(aqui
depende só de
), o resultado é essa expressão multiplicada pelo comprimento do intervalo em
, que é
. Logo
Passo 5
Reduzimos a integral tripla a uma integral única em
:
Agora precisamos calcular essa integral. Uma técnica eficiente aqui é a substituição (mudar de variável) para simplificar a raiz. Vou explicar a substituição passo a passo.
Passo 6
Escolha da substituição e razão:
- Tome
. Isso serve porque e o diferencial se relaciona com . - Diferenciando, obtemos
, ou seja,
- Mudança dos limites: quando
temos ; quando temos .
Aplicando a substituição na integral:
Trocando os limites para ordem crescente (isso tira o sinal negativo):
Passo 7
Calcule a integral em
:
Explicação da regra de potência para antiderivada: para com
, a antiderivada é
. Aqui
, então
Explicação da regra de potência para antiderivada: para
Portanto
Simplificando,
Passo 8
Conclusão: o valor do volume dado pela integral tripla é
. Dá para interpretar qualitativamente: a região tem base triangular em
-
e teto dado por um semicírculo em
-
; o cálculo reduziu essa geometria complicada a uma integral simples que resultou em
.