Quantos Termos tem A P.A (5,10 \ldots 785)

Passo 1

O enunciado pede para determinar quantos termos tem a progressão aritmética escrita (5,10,\ldots,785).\n
Informações dadas:
a_1 = 5
\text{o segundo termo} = 10
\text{o último termo mostrado} = 785ú
Não há outras informações no enunciado.

Passo 2

Vamos identificar a razão (diferença comum) da P.A. A razão d é a diferença entre qualquer termo e o termo anterior. Usando os dois primeiros termos:
d = 10 - 5.
Calculemos:
d = 5.
Explicação didática: a razão d indica quanto somamos (ou subtraímos) para passar de um termo ao próximo. Aqui cada termo aumenta em \,5.

Passo 3

Apresento a fórmula do termo geral de uma P.A.: o n-ésimo termo a_n é dado por
a_n = a_1 + (n-1)\,d,
onde:
  • a_n é o termo de posição n;
  • a_1 é o primeiro termo (aqui \,5);
  • d é a razão (aqui \,5);
  • n é o número de termos (o que queremos descobrir).\n
    Breve justificativa da fórmula: começamos em a_1 e somamos d exatamente (n-1) vezes para chegar ao n-ésimo termo.

Passo 4

Substituímos na fórmula os valores conhecidos e resolvemos para n. Temos a_n = 785, a_1 = 5 e d = 5. Portanto:
785 = 5 + (n-1)\cdot 5.
Agora isolamos n. Primeiro subtraímos \,5 dos dois lados:
785 - 5 = (n-1)\cdot 5,
780 = (n-1)\cdot 5.
Dividimos ambos os lados por \,5:
\frac{780}{5} = n-1,
156 = n-1.
Por fim, somamos 1 aos dois lados:
n = 156 + 1,
n = 157.

Passo 5

Verificação rápida (para ter certeza): calcular o termo de ordem 157 pela fórmula:
a_{157} = 5 + (157-1)\cdot 5 = 5 + 156\cdot 5 = 5 + 780 = 785,
que coincide com o último termo dado. Portanto o resultado está correto.

Resposta

157

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