Calcule o volume de cada um dos sólidos
Volume
Volume
Passo 1
O enunciado pede para calcular o volume do sólido dado pela integral tripla
Informações fornecidas:
- Os limites são
variando de a , para cada o varia de a , e para cada o varia de a . - O integrando é
(pois não aparece função no integrando), portanto a integral dá o volume da região. - A ordem de integração é
(interna), depois , depois (externa).
Passo 2
Entendendo o que significa integrar uma função constante
em três variáveis: quando fazemos
isso mede o volume da região
. Aqui a região está descrita por limites iterados, então podemos calcular o volume integrando por partes, primeiro em
, depois em
e por fim em
. Não precisamos de teoremas profundos além da regra básica de integração iterada (Fubini/Tonelli garante que podemos trocar a ordem se necessário, mas não precisamos trocar aqui).
Passo 3
Começamos integrando na variável
. Para uma integral simples
a integral de
em
é simplesmente o comprimento do intervalo em
, isto é,
Explicando a conta: a antiderivada de
em relação a
é
; avaliando de
a
obtemos
.
Passo 4
Substituindo esse resultado na integral dupla restante, obtemos
Observe que
não depende de
, então ao integrar em
basta multiplicar pelo comprimento do intervalo de
.
Passo 5
Integramos em
. O intervalo de
é de
a
, logo
Explicando: se
constante, então
. Aqui
e
.
Passo 6
Agora restou a integral em
:
Vamos simplificar o integrando primeiro multiplicando os polinômios:
Mostrando a conta: multiplica-se termo a termo:
-
, -
, -
, -
.
Passo 7
Integramos termo a termo usando a regra da potência:
para
. Assim
Explicando: a antiderivada de
é
; de
é
; de
é
; de
é
.
Passo 8
Avaliando a expressão no intervalo
obtemos
Agora somamos as frações. Usando denominador comum
:
Então
Passo 9
Conclusão: o volume do sólido dado pela integral é
. Boa! Fizemos passo a passo: integrar em
(comprimento do intervalo), em
(multiplicação por comprimento), e finalmente em
usando integração de polinômios.