Calcule o volume de cada um dos sólidos
Volume =\int_{0}^{1} \int_{0}^{1-x} \int_{0}^{1-x^{2}} d z d y d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular o volume do sólido dado pela integral tripla
\text{Volume}=\int_{0}^{1}\int_{0}^{1-x}\int_{0}^{1-x^{2}} dz\,dy\,dx.
Informações fornecidas:
  • Os limites são x variando de 0 a 1, para cada x o y varia de 0 a 1-x, e para cada (x,y) o z varia de 0 a 1-x^{2}.
  • O integrando é 1 (pois não aparece função no integrando), portanto a integral dá o volume da região.
  • A ordem de integração é dz (interna), depois dy, depois dx (externa).

Passo 2

Entendendo o que significa integrar uma função constante 1 em três variáveis: quando fazemos
\iiint_{\Omega} 1\, dV
isso mede o volume da região \Omega. Aqui a região está descrita por limites iterados, então podemos calcular o volume integrando por partes, primeiro em z, depois em y e por fim em x. Não precisamos de teoremas profundos além da regra básica de integração iterada (Fubini/Tonelli garante que podemos trocar a ordem se necessário, mas não precisamos trocar aqui).

Passo 3

Começamos integrando na variável z. Para uma integral simples
\int_{0}^{1-x^{2}} 1\, dz
a integral de 1 em z é simplesmente o comprimento do intervalo em z, isto é,
\int_{0}^{1-x^{2}} 1\, dz = 1 - x^{2}.
Explicando a conta: a antiderivada de 1 em relação a z é z; avaliando de 0 a 1-x^{2} obtemos (1-x^{2}) - 0.

Passo 4

Substituindo esse resultado na integral dupla restante, obtemos
\int_{0}^{1}\int_{0}^{1-x} (1-x^{2})\, dy\, dx.
Observe que 1-x^{2} não depende de y, então ao integrar em y basta multiplicar pelo comprimento do intervalo de y.

Passo 5

Integramos em y. O intervalo de y é de 0 a 1-x, logo
\int_{0}^{1-x} (1-x^{2})\, dy = (1-x^{2})\cdot(1-x).
Explicando: se f(y)=C constante, então \int_{a}^{b} C\,dy = C(b-a). Aqui C=1-x^{2} e b-a=1-x-0=1-x.

Passo 6

Agora restou a integral em x:
\int_{0}^{1} (1-x^{2})(1-x)\, dx.
Vamos simplificar o integrando primeiro multiplicando os polinômios:
(1-x^{2})(1-x) = 1 - x - x^{2} + x^{3}.
Mostrando a conta: multiplica-se termo a termo:
  • 1\cdot 1 = 1,
  • 1\cdot(-x) = -x,
  • -x^{2}\cdot 1 = -x^{2},
  • -x^{2}\cdot(-x) = x^{3}.

Passo 7

Integramos termo a termo usando a regra da potência: \int x^{n}\,dx = \dfrac{x^{n+1}}{n+1} para n\neq -1. Assim
\int_{0}^{1} \big(1 - x - x^{2} + x^{3}\big)\, dx = \left[ x - \frac{x^{2}}{2} - \frac{x^{3}}{3} + \frac{x^{4}}{4} \right]_{0}^{1}.
Explicando: a antiderivada de 1 é x; de -x é -x^{2}/2; de -x^{2} é -x^{3}/3; de x^{3} é x^{4}/4.

Passo 8

Avaliando a expressão no intervalo [0,1] obtemos
\left(1 - \frac{1}{2} - \frac{1}{3} + \frac{1}{4}\right) - \left(0 - 0 - 0 + 0\right).
Agora somamos as frações. Usando denominador comum 12:
1 = \frac{12}{12},\quad \frac{1}{2}=\frac{6}{12},\quad \frac{1}{3}=\frac{4}{12},\quad \frac{1}{4}=\frac{3}{12}.
Então
\frac{12}{12} - \frac{6}{12} - \frac{4}{12} + \frac{3}{12} = \frac{12-6-4+3}{12} = \frac{5}{12}.

Passo 9

Conclusão: o volume do sólido dado pela integral é \dfrac{5}{12}. Boa! Fizemos passo a passo: integrar em z (comprimento do intervalo), em y (multiplicação por comprimento), e finalmente em x usando integração de polinômios.

Resposta

\displaystyle \frac{5}{12}

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