Calcule o volume de cada um dos sólidos
Volume =\int_{0}^{2} \int_{0}^{x} \int_{0}^{4-y^{2}} d z d y d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular o volume do sólido dado pela integral iterada
V=\int_{0}^{2}\int_{0}^{x}\int_{0}^{4-y^{2}} dz\,dy\,dx.
Informações fornecidas:
\,0\le z\le 4-y^{2}, \,0\le y\le x, \,0\le x\le 2.
O integrando é implicitamente 1 (pois estamos integrando dz\,dy\,dx sem fator extra). A integral está escrita na ordem z depois y depois x.

Passo 2

Primeiro passo prático: integrar em relação a z (a variável mais interna). Quando o integrando é 1, a integral de 1 em z de z=0 até z=4-y^{2} é simplesmente o comprimento do intervalo em z, ou seja:
\int_{0}^{4-y^{2}} 1\,dz = 4-y^{2}.
Explicação didática: integrar 1 em relação a z é encontrar a função primitiva de 1 em z, que é z. Avaliando de 0 a 4-y^{2} obtemos z\big|_{0}^{4-y^{2}}=4-y^{2}. Isso elimina a variável z e reduz a integral tripla a uma dupla.

Passo 3

Substituindo o resultado do passo anterior obtemos a integral dupla
V=\int_{0}^{2}\int_{0}^{x} \big(4-y^{2}\big)\,dy\,dx.
Agora integramos em relação a y. Para integrar \,4-y^{2} em y tomamos primitivas termo a termo:
a primitiva de 4 em y é 4y;
a primitiva de -y^{2} em y é -\dfrac{y^{3}}{3}.
Portanto a primitiva completa é
4y-\frac{y^{3}}{3}.
Avaliando entre y=0 e y=x
\left(4y-\frac{y^{3}}{3}\right)\Big|_{0}^{x} = 4x-\frac{x^{3}}{3}.
Assim a integral dupla virou uma integral simples em x.

Passo 4

Agora calculamos a integral em x:
V=\int_{0}^{2}\left(4x-\frac{x^{3}}{3}\right)dx.
Novamente integramos termo a termo. Primitivas:
a primitiva de 4x é 2x^{2} (pois \frac{d}{dx}(2x^{2})=4x);
a primitiva de -\dfrac{x^{3}}{3} é -\dfrac{x^{4}}{12} (pois derivando obtemos -\dfrac{4x^{3}}{12}=-\dfrac{x^{3}}{3}).
Logo a primitiva total é
2x^{2}-\frac{x^{4}}{12}.
Avaliando de 0 a 2:
V=\left(2x^{2}-\frac{x^{4}}{12}\right)\Big|_{0}^{2} = \left(2\cdot 2^{2}-\frac{2^{4}}{12}\right) - 0.
Calcule passo a passo: 2\cdot 2^{2}=2\cdot 4=8. Também 2^{4}=16 e \dfrac{16}{12}=\dfrac{4}{3}. Portanto
V=8-\frac{4}{3}.
Colocando em uma única fração: 8=\dfrac{24}{3}, logo
V=\frac{24}{3}-\frac{4}{3}=\frac{20}{3}.

Passo 5

Pequena interpretação e dica para prova: o procedimento foi sempre integrar a variável mais interna primeiro — aqui z — o que reduziu a integral tridimensional para uma integral dupla e depois para uma simples. Em provas, siga a ordem dada a menos que haja vantagem em trocar a ordem; aqui a ordem dada é direta e rápida. Faça as integrais termo a termo e simplifique frações passo a passo (sem cálculo de máquina), como fizemos: avaliar primitivas em limites e reduzir frações com cuidado.

Resposta

\dfrac{20}{3}

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