(1,0 pt.) Calcule o volume do conjunto dado: F=\left\{(x, y, z) \in \mathbb{R}^{3} / 0 \leqslant z \leqslant y\right. e (x, y) pertence ao semicírculo \left.x^{2}+y^{2} \leqslant 4, y \geqslant 0\right\}.
Passo 1
O enunciado pede para calcular o volume do conjunto
O domínio no plano xy é o semicírculo de raio 2 acima do eixo x: \{(x,y)\mid x^{2}+y^{2}\le 4,\\ y\ge 0\}.
Para cada ponto (x,y) desse semicírculo, a coordenada z varia entre 0 e y.
A pergunta é: calcular o volume total do conjunto F.
Passo 2
Ideia para resolver (explicada passo a passo): o volume de F pode ser escrito como uma integral tripla, mas como a restrição em z é simples (0\le z\le y) podemos primeiro integrar em z e reduzir para uma integral dupla sobre o semicírculo D no plano:
Aqui D=\{(x,y)\mid x^{2}+y^{2}\le 4,\\ y\ge 0\}. Explico rapidamente por que isso funciona: para cada (x,y)\in D o segmento vertical em z tem comprimento y-0=y; somando (integrando) esses comprimentos sobre D obtemos o volume.
Passo 3
Escolha de coordenadas e justificativa: como D é um semicírculo, coordenadas polares tornam a integral muito mais simples. Em coordenadas polares definimos:
x=r\cos\theta,\qquad y=r\sin\theta,
onde r\ge 0 é a distância à origem e \theta é o ângulo medido a partir do eixo x. No semicírculo com y\ge 0 temos \theta variando de 0 a \pi e r de 0 a 2 (raio do semicírculo). Lembre que o elemento de área em coordenadas polares é dA=r\,dr\,d\theta (esse r extra é o jacobiano da mudança de variáveis).
Passo 4
Expressar a integral em polares: a função que vamos integrar é y. Em polares isso fica y=r\sin\theta. Multiplicando pelo jacobiano r obtemos o integrando completo r\cdot r\sin\theta=r^{2}\sin\theta. Portanto