(1,0 pt.) Calcule o volume do conjunto dado:
F=\left\{(x, y, z) \in \mathbb{R}^{3} / 0 \leqslant z \leqslant y\right. e (x, y) pertence ao semicírculo \left.x^{2}+y^{2} \leqslant 4, y \geqslant 0\right\}.

Passo 1

O enunciado pede para calcular o volume do conjunto
F=\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3 \mid 0\le z\le y\\ \text{e}\\ (x,y)\\ \text{pertence ao semicírculo}\\ x^{2}+y^{2}\le 4,\\ y\ge 0\}.í
Informações e pedidos extraídas do enunciado:
  • O domínio no plano xy é o semicírculo de raio 2 acima do eixo x: \{(x,y)\mid x^{2}+y^{2}\le 4,\\ y\ge 0\}.
  • Para cada ponto (x,y) desse semicírculo, a coordenada z varia entre 0 e y.
  • A pergunta é: calcular o volume total do conjunto F.

Passo 2

Ideia para resolver (explicada passo a passo): o volume de F pode ser escrito como uma integral tripla, mas como a restrição em z é simples ( 0\le z\le y) podemos primeiro integrar em z e reduzir para uma integral dupla sobre o semicírculo D no plano:
V=\iiint_{F} dV=\iint_{D}\left(\int_{z=0}^{z=y} dz\right)dA=\iint_{D} y\,dA.
Aqui D=\{(x,y)\mid x^{2}+y^{2}\le 4,\\ y\ge 0\}. Explico rapidamente por que isso funciona: para cada (x,y)\in D o segmento vertical em z tem comprimento y-0=y; somando (integrando) esses comprimentos sobre D obtemos o volume.

Passo 3

Escolha de coordenadas e justificativa: como D é um semicírculo, coordenadas polares tornam a integral muito mais simples. Em coordenadas polares definimos:
x=r\cos\theta,\qquad y=r\sin\theta,
onde r\ge 0 é a distância à origem e \theta é o ângulo medido a partir do eixo x. No semicírculo com y\ge 0 temos \theta variando de 0 a \pi e r de 0 a 2 (raio do semicírculo). Lembre que o elemento de área em coordenadas polares é dA=r\,dr\,d\theta (esse r extra é o jacobiano da mudança de variáveis).

Passo 4

Expressar a integral em polares: a função que vamos integrar é y. Em polares isso fica y=r\sin\theta. Multiplicando pelo jacobiano r obtemos o integrando completo r\cdot r\sin\theta=r^{2}\sin\theta. Portanto
V=\iint_{D} y\,dA=\int_{\theta=0}^{\pi}\int_{r=0}^{2} r^{2}\sin\theta\,dr\,d\theta.
Note que a expressão é separável em r e \theta, o que facilita os cálculos.

Passo 5

Calcular a integral em r: primeiro integramos em r
\int_{r=0}^{2} r^{2}\,dr=\left.\frac{r^{3}}{3}\right|_{0}^{2}=\frac{2^{3}}{3}=\frac{8}{3}.

Passo 6

Calcular a integral em \theta: agora a parte angular
\int_{\theta=0}^{\pi}\sin\theta\,d\theta=\left.-\cos\theta\right|_{0}^{\pi}=(-\cos\pi)-(-\cos 0)=(-(-1))-( -1)=1+1=2.

Passo 7

Combinar os resultados: a integral total é o produto das duas integrais (porque a integrando separou):
V=\left(\frac{8}{3}\right)\cdot 2=\frac{16}{3}.
Isso é positivo e faz sentido: é o volume do sólido obtido empilhando, em cada ponto do semicírculo, um segmento de altura y.

Resposta

\dfrac{16}{3}

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