Usando mudança de variáveis em coordenadas polares, calcule:
\iint_{B} x^{2} d x d y, sendo B o conjunto 4 x^{2}+y^{2} \leqslant 1.

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral dupla
\iint_{B} x^{2}\,dx\,dy,
onde B é a região do plano definida por
4x^{2}+y^{2}\leqslant 1.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • A região B é uma elipse centrada na origem com semieixos a=\tfrac{1}{2} ao longo de x e b=1 ao longo de y.
  • A função a integrar é x^{2}.
    A tarefa é encontrar o valor numérico dessa integral.

Passo 2

Estratégia escolhida e motivo: é conveniente transformar a elipse numa circunferência unitária por uma mudança de variáveis linear seguida de coordenadas polares. Isso simplifica a região de integração e torna o cálculo direto.
Definir variáveis intermediárias u e v que “desestiquem” a elipse:
u = 2x,\qquad v = y.
Com isso a condição 4x^{2}+y^{2}\leqslant1 fica
u^{2}+v^{2}\leqslant 1,
ou seja, o disco unitário em (u,v).
Agora introduzir coordenadas polares no disco unitário:
u = r\cos\theta,\qquad v = r\sin\theta,
com 0\le r\le 1 e 0\le \theta\le 2\pi.
Voltando para (x,y), obtemos a mudança direta usada na integral:
x = \frac{r\cos\theta}{2},\qquad y = r\sin\theta,
com 0\le r\le 1 e 0\le\theta\le 2\pi.

Passo 3

Cálculo do jacobiano da mudança (r,\theta)\mapsto(x,y).
A matriz jacobiana é
\frac{\partial(x,y)}{\partial(r,\theta)} = \begin{pmatrix} \partial x/\partial r & \partial x/\partial\theta\\[4pt] \partial y/\partial r & \partial y/\partial\theta \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{\cos\theta}{2} & -\frac{r\sin\theta}{2}\\[4pt] \sin\theta & r\cos\theta \end{pmatrix}.
O determinante (o valor absoluto é o fator de escala de área) é
\det\!\left(\frac{\partial(x,y)}{\partial(r,\theta)}\right) = \frac{\cos\theta}{2}\cdot r\cos\theta -\left(-\frac{r\sin\theta}{2}\right)\cdot\sin\theta = \frac{r}{2}\bigl(\cos^{2}\theta+\sin^{2}\theta\bigr) = \frac{r}{2}.
Portanto o elemento de área transforma como
dx\,dy = \frac{r}{2}\,dr\,d\theta.]

Passo 4

Transformar a função x^{2} e montar a integral em r,\theta.
Temos
x^{2} = \left(\frac{r\cos\theta}{2}\right)^{2} = \frac{r^{2}\cos^{2}\theta}{4}.
Multiplicando pelo jacobiano dx\,dy = \dfrac{r}{2}\,dr\,d\theta, o integrando em (r,\theta) fica
x^{2}\,dx\,dy = \frac{r^{2}\cos^{2}\theta}{4}\cdot\frac{r}{2}\,dr\,d\theta = \frac{r^{3}\cos^{2}\theta}{8}\,dr\,d\theta.
Logo a integral pedida é
\iint_{B} x^{2}\,dx\,dy = \int_{\theta=0}^{2\pi}\int_{r=0}^{1} \frac{r^{3}\cos^{2}\theta}{8}\,dr\,d\theta.

Passo 5

Separar a integral em produto radial e angular e calcular cada parte.
A integral é separável:
\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{1} \frac{r^{3}\cos^{2}\theta}{8}\,dr\,d\theta = \frac{1}{8}\left(\int_{0}^{1} r^{3}\,dr\right)\left(\int_{0}^{2\pi}\cos^{2}\theta\,d\theta\right).
Calcular a integral radial:
\int_{0}^{1} r^{3}\,dr = \left.\frac{r^{4}}{4}\right|_{0}^{1} = \frac{1}{4}.
Calcular a integral angular usando a identidade \cos^{2}\theta = \dfrac{1+\cos(2\theta)}{2}:
\int_{0}^{2\pi}\cos^{2}\theta\,d\theta = \int_{0}^{2\pi}\frac{1+\cos(2\theta)}{2}\,d\theta = \frac{1}{2}\int_{0}^{2\pi}1\,d\theta + \frac{1}{2}\int_{0}^{2\pi}\cos(2\theta)\,d\theta = \frac{1}{2}\cdot 2\pi + \frac{1}{2}\cdot 0 = \pi.

Passo 6

Combinar os resultados e obter o valor final da integral.
Substituindo:
\iint_{B} x^{2}\,dx\,dy = \frac{1}{8}\cdot\frac{1}{4}\cdot \pi = \frac{\pi}{32}.

Resposta

\displaystyle \frac{\pi}{32}

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