Usando mudança de variáveis em coordenadas polares, calcule: \iint_{B} x^{2} d x d y, sendo B o conjunto 4 x^{2}+y^{2} \leqslant 1.
Passo 1
O enunciado pede calcular a integral dupla
\iint_{B} x^{2}\,dx\,dy,
onde B é a região do plano definida por
4x^{2}+y^{2}\leqslant 1.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
A região B é uma elipse centrada na origem com semieixos a=\tfrac{1}{2} ao longo de x e b=1 ao longo de y.
A função a integrar é x^{2}.
A tarefa é encontrar o valor numérico dessa integral.
Passo 2
Estratégia escolhida e motivo: é conveniente transformar a elipse numa circunferência unitária por uma mudança de variáveis linear seguida de coordenadas polares. Isso simplifica a região de integração e torna o cálculo direto.
Definir variáveis intermediárias u e v que “desestiquem” a elipse:
u = 2x,\qquad v = y.
Com isso a condição 4x^{2}+y^{2}\leqslant1 fica
u^{2}+v^{2}\leqslant 1,
ou seja, o disco unitário em (u,v).
Agora introduzir coordenadas polares no disco unitário:
u = r\cos\theta,\qquad v = r\sin\theta,
com 0\le r\le 1 e 0\le \theta\le 2\pi.
Voltando para (x,y), obtemos a mudança direta usada na integral:
x = \frac{r\cos\theta}{2},\qquad y = r\sin\theta,
com 0\le r\le 1 e 0\le\theta\le 2\pi.
Passo 3
Cálculo do jacobiano da mudança (r,\theta)\mapsto(x,y).