Usando mudança de variáveis em coordenadas polares, calcule:
, sendo
o conjunto
e
.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral dupla
onde
é o conjunto dado por
e
.
Informações relevantes fornecidas:
- A região
é o semidisco fechado de raio centrado na origem, limitado à metade superior pelo condicionamento . - O integrando, que vou interpretar como
, depende de (ou seja, só do raio ao quadrado). - O objetivo é calcular exatamente o valor numérico da integral dupla sobre
.
Passo 2
Explicando a mudança para coordenadas polares (a teoria necessária, bem mastigada).
- Em coordenadas polares definimos
onde
é a distância ao origem e
é o ângulo medido a partir do eixo
.
- Ao fazer a mudança de variáveis em uma integral dupla, o elemento de área
é substituído pelo jacobiano da transformação vezes . No caso das coordenadas polares o jacobiano vale . Isso quer dizer que
Breve intuição: pequenas faixas radiais têm comprimento proporcional a
, por isso o fator
.
- Ao aplicar isso, a integral dupla em
passa a ser uma integral em e :
onde
é a descrição da região em termos de
e
.
Passo 3
Descrevendo a região
em polares (muito importante para os limites de integração).
- A condição
vira , ou seja . - A condição
em polares é . Como , isso equivale a , o que ocorre para
- Logo, em coordenadas polares a região
corresponde a
Passo 4
Escrevendo a integral na nova variável.
Substituindo
,
e os limites de
e
, obtemos:
Observação: a função dentro da integral depende só de
, então a integral em
será apenas um fator multiplicativo.
Passo 5
Calculando a integral interna em
(substituição simples).
Considere a integral interna
Fazemos a substituição
. Então
Quando
temos
. Quando
temos
.
Assim
Agora integramos
. A primitiva de
é
. Portanto
Sabendo que
, isso fica
Passo 6
Finalizando a integral (integral em
).
Voltando à integral completa:
O integrando é constante em
, então
Portanto o valor da integral é
Nota rápida: os argumentos das funções trigonométricas estão em radianos.