Usando mudança de variáveis em coordenadas polares, calcule:
\iint_{B} \operatorname{sen} 4 x^{2}+y^{2} d x d y, sendo B o conjunto x^{2}+y^{2} \leqslant 4 e y \geqslant 0.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla
\iint_{B} \operatorname{sen}4(x^{2}+y^{2})\,dx\,dy
onde B é o conjunto dado por x^{2}+y^{2}\leqslant 4 e y\geqslant 0.
Informações relevantes fornecidas:
  • A região B é o semidisco fechado de raio 2 centrado na origem, limitado à metade superior pelo condicionamento y\geqslant 0.
  • O integrando, que vou interpretar como \operatorname{sen}\bigl(4(x^{2}+y^{2})\bigr), depende de x^{2}+y^{2} (ou seja, só do raio ao quadrado).
  • O objetivo é calcular exatamente o valor numérico da integral dupla sobre B.

Passo 2

Explicando a mudança para coordenadas polares (a teoria necessária, bem mastigada).
  • Em coordenadas polares definimos
x = r\cos\theta,\qquad y = r\sin\theta,
onde r\geq 0 é a distância ao origem e \theta é o ângulo medido a partir do eixo x.
  • Ao fazer a mudança de variáveis em uma integral dupla, o elemento de área dx\,dy é substituído pelo jacobiano da transformação vezes dr\,d\theta. No caso das coordenadas polares o jacobiano vale r. Isso quer dizer que
dx\,dy = r\,dr\,d\theta.
Breve intuição: pequenas faixas radiais têm comprimento proporcional a r, por isso o fator r.
  • Ao aplicar isso, a integral dupla em (x,y) passa a ser uma integral em r e \theta:
\iint_{B} f(x,y)\,dx\,dy = \iint_{B_{\text{pol}}} f(r\cos\theta,r\sin\theta)\,r\,dr\,d\theta,
onde B_{\text{pol}} é a descrição da região em termos de r e \theta.

Passo 3

Descrevendo a região B em polares (muito importante para os limites de integração).
  • A condição x^{2}+y^{2}\leqslant 4 vira r^{2}\leqslant 4, ou seja 0\leqslant r\leqslant 2.
  • A condição y\geqslant 0 em polares é r\sin\theta\geqslant 0. Como r\geq 0, isso equivale a \sin\theta\geq 0, o que ocorre para
0\leqslant \theta \leqslant \pi.
  • Logo, em coordenadas polares a região B corresponde a
0\leqslant r\leqslant 2,\qquad 0\leqslant \theta\leqslant \pi.

Passo 4

Escrevendo a integral na nova variável.
Substituindo x^{2}+y^{2}=r^{2}, dx\,dy=r\,dr\,d\theta e os limites de r e \theta, obtemos:
\iint_{B} \operatorname{sen}\bigl(4(x^{2}+y^{2})\bigr)\,dx\,dy = \int_{\theta=0}^{\pi}\int_{r=0}^{2} \operatorname{sen}\bigl(4r^{2}\bigr)\,r\,dr\,d\theta.
Observação: a função dentro da integral depende só de r, então a integral em \theta será apenas um fator multiplicativo.

Passo 5

Calculando a integral interna em r (substituição simples).
Considere a integral interna
\int_{0}^{2} \operatorname{sen}\bigl(4r^{2}\bigr)\,r\,dr.
Fazemos a substituição u=4r^{2}. Então
du = 8r\,dr \quad\Rightarrow\quad r\,dr = \frac{du}{8}.
Quando r=0 temos u=0. Quando r=2 temos u=4\cdot 2^{2}=16.
Assim
\int_{0}^{2} \operatorname{sen}\bigl(4r^{2}\bigr)\,r\,dr = \int_{u=0}^{16} \operatorname{sen}(u)\,\frac{du}{8} = \frac{1}{8}\int_{0}^{16} \operatorname{sen}(u)\,du.
Agora integramos \operatorname{sen}(u). A primitiva de \operatorname{sen}(u) é -\cos(u). Portanto
\frac{1}{8}\int_{0}^{16} \operatorname{sen}(u)\,du = \frac{1}{8}\bigl[-\cos(u)\bigr]_{0}^{16} = \frac{1}{8}\bigl(-\cos(16)+\cos(0)\bigr).
Sabendo que \cos(0)=1, isso fica
\int_{0}^{2} \operatorname{sen}\bigl(4r^{2}\bigr)\,r\,dr = \frac{1-\cos(16)}{8}.

Passo 6

Finalizando a integral (integral em \theta).
Voltando à integral completa:
\int_{0}^{\pi}\left(\int_{0}^{2} \operatorname{sen}\bigl(4r^{2}\bigr)\,r\,dr\right)d\theta = \int_{0}^{\pi} \frac{1-\cos(16)}{8}\,d\theta.
O integrando é constante em \theta, então
\int_{0}^{\pi} \frac{1-\cos(16)}{8}\,d\theta = \frac{1-\cos(16)}{8}\cdot \pi.
Portanto o valor da integral é
\frac{\pi}{8}\bigl(1-\cos(16)\bigr).
Nota rápida: os argumentos das funções trigonométricas estão em radianos.

Resposta

\dfrac{\pi}{8}\bigl(1-\cos(16)\bigr)

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