Calcule o volume do conjunto dado
\left\{(x, y, z) \in \mathbb{R}^{3}: x^{2}+y^{2} \leq a^{2}\right. e \left.y^{2}+z^{2} \leq a^{2}\right\},(a>0).

Passo 1

O enunciado pede o volume do sólido em \mathbb{R}^3 definido pela interseção
\{(x,y,z)\mid x^2+y^2\le a^2\}\quad\text{e}\quad\{(x,y,z)\mid y^2+z^2\le a^2\},
ou seja, a interseção de dois cilindros de raio a cujos eixos são perpendiculares. Para calcular esse volume, vamos usar o método das seções transversais paralelas ao plano xz, variando y.

Passo 2

Fixe um valor de y com -a\le y\le a. A condição
x^2 + y^2 \le a^2
implica
-\sqrt{a^2 - y^2}\;\le\;x\;\le\;\sqrt{a^2 - y^2},
e a condição
y^2 + z^2 \le a^2
-\sqrt{a^2 - y^2}\;\le\;z\;\le\;\sqrt{a^2 - y^2}.
Logo, para cada y fixo, a seção no plano xz é um quadrado de lado 2\sqrt{a^2-y^2}.

Passo 3

A área dessa seção transversal em função de y é
A(y) = \bigl(2\sqrt{a^2 - y^2}\bigr)^2 = 4\bigl(a^2 - y^2\bigr).

Passo 4

O volume do sólido é a integral de A(y) de y=-a até y=+a:
V = \int_{y=-a}^{a} 4\bigl(a^2 - y^2\bigr)\,dy.

Passo 5

Calcule a integral:
\int_{-a}^{a} \bigl(a^2 - y^2\bigr)\,dy = \Bigl[a^2 y - \tfrac{y^3}{3}\Bigr]_{-a}^{a} = \bigl(a^3 - \tfrac{a^3}{3}\bigr)\;-\;\bigl(-a^3 + \tfrac{a^3}{3}\bigr) = 2a^3 - \tfrac{2a^3}{3} = \tfrac{4a^3}{3}.
Multiplicando por 4,
V = 4\;\cdot\;\tfrac{4a^3}{3} = \tfrac{16\,a^3}{3}.

Resposta

V = \frac{16\,a^3}{3}.

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