Calcular pela definição de derivadas as derivadas laterais nos pontos onde a função não é derivável. Esboçar o gráfico.
h(x)= \begin{cases}e^{x-1}-1, & \text { se } x \leq 1 \\\ \ln (x), & \text { se } x>1\end{cases}

Passo 1

O enunciado define
h(x)= \begin{cases} e^{x-1}-1,&x\le1,\\\ \ln(x),&x>1, \end{cases}
e pede as derivadas laterais nos pontos em que a função pode não ser derivável. Há quebra de definição em x=1, então vamos calcular
h'_{-}(1)=\lim_{x\to1^-}\frac{h(x)-h(1)}{x-1}, \qquad h'_{+}(1)=\lim_{x\to1^+}\frac{h(x)-h(1)}{x-1}.
Também esboçaremos o gráfico unindo as duas curvas de forma contínua.

Passo 2

Para x\le1 temos h(x)=e^{x-1}-1. Como h(1)=e^{1-1}-1=0,
h'_{-}(1) =\lim_{x\to1^-}\frac{e^{x-1}-1-0}{x-1} =\lim_{t\to0^-}\frac{e^{t}-1}{t} =1.
Aqui fizemos a mudança t=x-1\to0 e usamos \lim_{t\to0}(e^t-1)/t=1.

Passo 3

Para x>1 temos h(x)=\ln(x). Ainda h(1)=0, então
h'_{+}(1) =\lim_{x\to1^+}\frac{\ln(x)-0}{x-1}.
Como é caso de forma \tfrac{0}{0}, aplicamos regra de l’Hôpital:
\lim_{x\to1^+}\frac{\ln(x)}{x-1} =\lim_{x\to1^+}\frac{1/x}{1} =1.

Passo 4

Como h'_{-}(1)=1 e h'_{+}(1)=1, as derivadas laterais coincidem. Logo h é diferenciável em x=1 e
h'(1)=1.

Passo 5

Esboço do gráfico:
  • Para x\le1: curva exponencial y=e^{x-1}-1, que tende a -1 quando x\to-\infty e passa em (1,0) com inclinação 1.
  • Para x>1: curva logarítmica y=\ln(x), que parte de (1,0) com inclinação 1 e cresce indefinidamente, sendo côncava para baixo.
    As duas peças se unem suavemente em (1,0).

Resposta

As derivadas laterais em x=1 são
h'_{-}(1)=1, \qquad h'_{+}(1)=1,
logo h é diferenciável em 1 e h'(1)=1. O gráfico é a junção suave de e^{x-1}-1 para x\le1 e \ln(x) para x>1.

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