Calcular pela definição de derivadas as derivadas laterais nos pontos onde a função não é derivável. Esboçar o gráfico.
Passo 1
O enunciado define
e pede as derivadas laterais nos pontos em que a função pode não ser derivável. Há quebra de definição em
, então vamos calcular
Também esboçaremos o gráfico unindo as duas curvas de forma contínua.
Passo 2
Para
temos
. Como
,
Aqui fizemos a mudança
e usamos
.
Passo 3
Para
temos
. Ainda
, então
Como é caso de forma
, aplicamos regra de l’Hôpital:
Passo 4
Como
e
, as derivadas laterais coincidem. Logo
é diferenciável em
e
Passo 5
Esboço do gráfico:
- Para
: curva exponencial , que tende a quando e passa em com inclinação . - Para
: curva logarítmica , que parte de com inclinação e cresce indefinidamente, sendo côncava para baixo.
As duas peças se unem suavemente em.
Resposta
As derivadas laterais em
são
logo
é diferenciável em
e
. O gráfico é a junção suave de
para
e
para
.