Calcule o volume do conjunto dado.
\left\{(x, y, z) \in \mathbb{R}^{3} \mid 0<x<1,0<y<1,0<z<x+2 y\right.)

Passo 1

O enunciado pede o volume do conjunto
\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3 \mid 0<x<1,\;0<y<1,\;0<z<x+2y\}.
Informações dadas:
  • As coordenadas são x, y, z.
  • As desigualdades que definem a região são 0<x<1, 0<y<1 e 0<z<x+2y.
    O que devemos calcular: o volume do conjunto (ou seja, a medida tridimensional) dessa região.

Passo 2

Ideia do método (muito usado em provas): o volume de uma região D em \mathbb{R}^3 pode ser escrito como integral tripla da função constante 1 sobre D:
V=\iiint_{D} 1\,dV.
Como as desigualdades já dão limites explícitos para z em função de x e y, uma ordem natural é integrar primeiro em z, depois em y e por fim em x. Assim montamos a integral iterada com os limites fornecidos:
V=\int_{x=0}^{1}\int_{y=0}^{1}\int_{z=0}^{x+2y} 1\,dz\,dy\,dx.
Explicação das variáveis nos limites: para cada par (x,y) com 0<x<1 e 0<y<1, o valor de z varia de 0 até x+2y.

Passo 3

Calcular a integral mais interna (em z). A integral de 1 em relação a z sobre o intervalo [0,x+2y] é simplesmente o comprimento desse intervalo:
\int_{z=0}^{x+2y} 1\,dz = x+2y.
Raciocínio: \int 1\,dz = z, e avaliando de 0 a x+2y x+2y-0.

Passo 4

Agora a integral reduz-se a uma dupla em x,y:
V=\int_{x=0}^{1}\int_{y=0}^{1} (x+2y)\,dy\,dx.
Vamos integrar em y primeiro. Calculemos passo a passo:
\int_{y=0}^{1} (x+2y)\,dy = \int_{y=0}^{1} x\,dy + \int_{y=0}^{1} 2y\,dy.
Cada termo:
\int_{y=0}^{1} x\,dy = x\cdot y\Big|_{0}^{1} = x,
\int_{y=0}^{1} 2y\,dy = 2\cdot\frac{y^{2}}{2}\Big|_{0}^{1} = y^{2}\Big|_{0}^{1} = 1.
Somando,
\int_{y=0}^{1} (x+2y)\,dy = x+1.

Passo 5

Falta integrar em x:
V=\int_{x=0}^{1} (x+1)\,dx = \int_{0}^{1} x\,dx + \int_{0}^{1} 1\,dx.
Calcule cada parcela:
\int_{0}^{1} x\,dx = \frac{x^{2}}{2}\Big|_{0}^{1} = \frac{1}{2},
\int_{0}^{1} 1\,dx = x\Big|_{0}^{1} = 1.
Somando,
V=\frac{1}{2}+1=\frac{3}{2}.

Resposta

\tfrac{3}{2}

Exercícios relacionados