A curva é parametricamente dada por três componentes: x(t)=t, y(t)=\cos t e z(t)=3\operatorname{sen}t.
O parâmetro t varia de -5 até 5.
Passo 2
Fórmula do comprimento de uma curva paramétrica — explicação didática.
Para uma curva paramétrica \mathbf{r}(t) com componente contínua e derivável, o comprimento L no intervalo [a,b] é dado porL=\int_a^b \left\lVert \mathbf{r}'(t)\right\rVert \,dt.Aqui \mathbf{r}'(t) é a derivada vetor (velocidade) e \left\lVert \mathbf{r}'(t)\right\rVert é a norma (magnitude) dessa derivada, ou seja a velocidade escalar instantânea. Intuitivamente, somamos (integrando) as pequenas distâncias \left\lVert \mathbf{r}'(t)\right\rVert dt percorridas em cada pequeno intervalo dt.
Passo 3
Calcular a derivada \mathbf{r}'(t) componente a componente.
Derivando componente a componente:\frac{d}{dt}[t]=1,\qquad \frac{d}{dt}[\cos t]=- \operatorname{sen}t,\qquad \frac{d}{dt}[3\operatorname{sen}t]=3\cos t.
Calcular a norma \left\lVert \mathbf{r}'(t)\right\rVert e simplificar usando identidades trigonométricas.
A norma ao quadrado é soma dos quadrados das componentes:\left\lVert \mathbf{r}'(t)\right\rVert^2 = 1^2 + (-\operatorname{sen}t)^2 + (3\cos t)^2 = 1 + \operatorname{sen}^2 t + 9\cos^2 t.
Usando \operatorname{sen}^2 t + \cos^2 t = 1, escrevemos\operatorname{sen}^2 t + 9\cos^2 t = ( \operatorname{sen}^2 t + \cos^2 t) + 8\cos^2 t = 1 + 8\cos^2 t.Assim\left\lVert \mathbf{r}'(t)\right\rVert^2 = 1 + \big(1 + 8\cos^2 t\big) = 2 + 8\cos^2 t = 2\big(1 + 4\cos^2 t\big).
Portanto a norma é\left\lVert \mathbf{r}'(t)\right\rVert = \sqrt{2}\,\sqrt{1 + 4\cos^2 t}.
Passo 5
Escrever a integral do comprimento e usar simetria da função.
A função \sqrt{1+4\cos^2 t} é par, porque \cos(-t)=\cos t. Logo a integral em [-5,5] dobra a integral em [0,5]:L= \sqrt{2}\cdot 2\int_{0}^{5} \sqrt{1 + 4\cos^2 t}\,dt = 2\sqrt{2}\int_{0}^{5}\sqrt{1+4\cos^2 t}\,dt.
Passo 6
Reescrever o integrando numa forma padrão para integrar (apresentando forma exata via integral elíptica).
Observação útil: 1+4\cos^2 t = 5 - 4\operatorname{sen}^2 t. Então
é a forma do integral elíptico incompleto de segunda espécie E(\varphi\mid k^2). Portanto podemos dar uma forma exata:
L = 2\sqrt{10}\;E\!\big(5\mid \tfrac{4}{5}\big).
Isso é uma expressão exata em termos da função especial conhecida como integral elíptica de segunda espécie (incompleta), avaliada no ângulo \varphi=5 (radianos) e parâmetro m=k^2=\tfrac{4}{5}.
Comentário didático: integrando \sqrt{a-b\sin^2 t} normalmente leva a integrais elípticas; não existe antiderivada elementar em termos de funções elementares para parâmetros gerais. Então a forma com E é a forma “exata” conhecida.
Passo 7
Avaliação numérica do comprimento (aproximação prática para a prova).
Se a prova pede valor numérico, podemos aproximar a integral numericamente. Vou aproximar
J=\int_0^5 \sqrt{1+4\cos^2 t}\,dt
e depois usar L=2\sqrt{2}\,J.
Uso aqui a regra de Simpson com passo h=0{,}5 (10 subintervalos) — isso é razoavelmente preciso e prático sem calculadora simbólica. Avaliei a função f(t)=\sqrt{1+4\cos^2 t} em t=0,0{,}5,1{,}0,\dots,5{,}0. Resultados (arredondados) usados:
L = 2\sqrt{2}\,J \approx 2\sqrt{2}\times 8{,}194368 \approx 23{,}177\\ (\text{aprox.}).
Observação: quem preferir pode avaliar numericamente diretamente a forma com integral elíptica incompleta usando uma calculadora científica que forneça E(\varphi\mid m); o resultado numérico coincide com o valor aproximado acima.