Determine o comprimento da curva dada.
\mathbf{r}(t)=\langle t, \cos t, 3 \operatorname{sen} t\rangle, \quad-5 \leqslant t \leqslant 5

Passo 1

O que o problema pede e o que é dado.
  • Pede-se determinar o comprimento da curva dada pela função vetor
    \mathbf{r}(t)=\langle t,\\ \cos t,\\\ 3\operatorname{sen}t\rangle
    no intervalo -5\le t\le 5.
  • Informação fornecida:
    • A curva é parametricamente dada por três componentes: x(t)=t, y(t)=\cos t e z(t)=3\operatorname{sen}t.
    • O parâmetro t varia de -5 até 5.

Passo 2

Fórmula do comprimento de uma curva paramétrica — explicação didática.
  • Para uma curva paramétrica \mathbf{r}(t) com componente contínua e derivável, o comprimento L no intervalo [a,b] é dado por L=\int_a^b \left\lVert \mathbf{r}'(t)\right\rVert \,dt.Aqui \mathbf{r}'(t) é a derivada vetor (velocidade) e \left\lVert \mathbf{r}'(t)\right\rVert é a norma (magnitude) dessa derivada, ou seja a velocidade escalar instantânea. Intuitivamente, somamos (integrando) as pequenas distâncias \left\lVert \mathbf{r}'(t)\right\rVert dt percorridas em cada pequeno intervalo dt.

Passo 3

Calcular a derivada \mathbf{r}'(t) componente a componente.
  • Derivando componente a componente: \frac{d}{dt}[t]=1,\qquad \frac{d}{dt}[\cos t]=- \operatorname{sen}t,\qquad \frac{d}{dt}[3\operatorname{sen}t]=3\cos t.
  • Logo \mathbf{r}'(t)=\langle 1,\\\ -\operatorname{sen}t,\\\ 3\cos t\rangle.

Passo 4

Calcular a norma \left\lVert \mathbf{r}'(t)\right\rVert e simplificar usando identidades trigonométricas.
  • A norma ao quadrado é soma dos quadrados das componentes: \left\lVert \mathbf{r}'(t)\right\rVert^2 = 1^2 + (-\operatorname{sen}t)^2 + (3\cos t)^2 = 1 + \operatorname{sen}^2 t + 9\cos^2 t.
  • Usando \operatorname{sen}^2 t + \cos^2 t = 1, escrevemos \operatorname{sen}^2 t + 9\cos^2 t = ( \operatorname{sen}^2 t + \cos^2 t) + 8\cos^2 t = 1 + 8\cos^2 t.Assim \left\lVert \mathbf{r}'(t)\right\rVert^2 = 1 + \big(1 + 8\cos^2 t\big) = 2 + 8\cos^2 t = 2\big(1 + 4\cos^2 t\big).
  • Portanto a norma é \left\lVert \mathbf{r}'(t)\right\rVert = \sqrt{2}\,\sqrt{1 + 4\cos^2 t}.

Passo 5

Escrever a integral do comprimento e usar simetria da função.
  • Pelo passo anterior, L=\int_{-5}^{5} \left\lVert \mathbf{r}'(t)\right\rVert\,dt = \int_{-5}^{5} \sqrt{2}\,\sqrt{1 + 4\cos^2 t}\,dt.
  • A função \sqrt{1+4\cos^2 t} é par, porque \cos(-t)=\cos t. Logo a integral em [-5,5] dobra a integral em [0,5]: L= \sqrt{2}\cdot 2\int_{0}^{5} \sqrt{1 + 4\cos^2 t}\,dt = 2\sqrt{2}\int_{0}^{5}\sqrt{1+4\cos^2 t}\,dt.

Passo 6

Reescrever o integrando numa forma padrão para integrar (apresentando forma exata via integral elíptica).
  • Observação útil: 1+4\cos^2 t = 5 - 4\operatorname{sen}^2 t. Então
    \sqrt{1+4\cos^2 t} = \sqrt{5}\,\sqrt{1 - \frac{4}{5}\operatorname{sen}^2 t}.
  • Substituindo na expressão de L:
    L = 2\sqrt{2}\cdot \sqrt{5}\int_0^5 \sqrt{1 - \frac{4}{5}\operatorname{sen}^2 t}\,dt = 2\sqrt{10}\int_0^5 \sqrt{1 - k^2\operatorname{sen}^2 t}\,dt,
    onde definimos k^2=\dfrac{4}{5} (logo k=\dfrac{2}{\sqrt{5}}).
  • A integral
    \int_0^{\varphi} \sqrt{1 - k^2\operatorname{sen}^2 t}\,dt
    é a forma do integral elíptico incompleto de segunda espécie E(\varphi\mid k^2). Portanto podemos dar uma forma exata:
    L = 2\sqrt{10}\;E\!\big(5\mid \tfrac{4}{5}\big).
    Isso é uma expressão exata em termos da função especial conhecida como integral elíptica de segunda espécie (incompleta), avaliada no ângulo \varphi=5 (radianos) e parâmetro m=k^2=\tfrac{4}{5}.
  • Comentário didático: integrando \sqrt{a-b\sin^2 t} normalmente leva a integrais elípticas; não existe antiderivada elementar em termos de funções elementares para parâmetros gerais. Então a forma com E é a forma “exata” conhecida.

Passo 7

Avaliação numérica do comprimento (aproximação prática para a prova).
  • Se a prova pede valor numérico, podemos aproximar a integral numericamente. Vou aproximar
    J=\int_0^5 \sqrt{1+4\cos^2 t}\,dt
    e depois usar L=2\sqrt{2}\,J.
  • Uso aqui a regra de Simpson com passo h=0{,}5 (10 subintervalos) — isso é razoavelmente preciso e prático sem calculadora simbólica. Avaliei a função f(t)=\sqrt{1+4\cos^2 t} em t=0,0{,}5,1{,}0,\dots,5{,}0. Resultados (arredondados) usados:
    \begin{aligned} f(0)&\approx 2{,}23607,\\\ f(0{,}5)&\approx 2{,}02009,\\\ f(1{,}0)&\approx 1{,}47227,\\\ f(1{,}5)&\approx 1{,}01000,\\\ f(2{,}0)&\approx 1{,}30027,\\\ f(2{,}5)&\approx 1{,}88930,\\\ f(3{,}0)&\approx 2{,}21820,\\\ f(3{,}5)&\approx 2{,}12200,\\\ f(4{,}0)&\approx 1{,}64610,\\\ f(4{,}5)&\approx 1{,}08530,\\\ f(5{,}0)&\approx 1{,}14970. \end{aligned}
  • Aplicando a regra de Simpson:
    J\approx \frac{h}{3}\Big(f_0+f_{10}+4\sum_{\text{ímpar}} f_i +2\sum_{\text{par, excl. extremos}} f_i\Big),í
    com h=0{,}5. Substituindo os valores obtive
    J\approx 8{,}194368\quad(\text{aprox.}).
  • Finalmente
    L = 2\sqrt{2}\,J \approx 2\sqrt{2}\times 8{,}194368 \approx 23{,}177\\ (\text{aprox.}).
  • Observação: quem preferir pode avaliar numericamente diretamente a forma com integral elíptica incompleta usando uma calculadora científica que forneça E(\varphi\mid m); o resultado numérico coincide com o valor aproximado acima.

Resposta

L=2\sqrt{10}\;E\!\big(5\mid \tfrac{4}{5}\big)\approx 23,177

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