Suponha que uma população inicial de 200 mil fêmeas de um determinado inseto habite uma região agrícola, e que esteja crescendo a uma taxa
ao ano. Para retardar o crescimento sem o uso de pesticidas, foram introduzidos 50 mil machos estéreis na região, que cruzam com as fêmeas mas não produzem descendentes. Indique por
a população, em milhares, de fêmeas desse inseto em um determinado instante. Nesse caso, o tempo
, em anos, necessário para que essa população alcance o número
pode ser modelado pela função
a) Determine constantes
e
tais que
.
b) Usando o item anterior, obtenha uma expressão explícita para
em termos da função logarítmica.
c) Usando a aproximação
, determine o tempo necessário para que a população de fêmeas seja reduzida à metade da população inicial.
b) Usando o item anterior, obtenha uma expressão explícita para
c) Usando a aproximação
Passo 1
O enunciado e os dados relevantes são:
- População inicial de fêmeas:
(em milhares), isto é, milhares = na unidade usada em . - Foram introduzidos
mil machos estéreis, por isso aparece o termo no numerador da fração. - A função que modela o tempo
, em anos, para a população de fêmeas atingir o valor (em milhares) é
O enunciado pede:
(a) determinar constantes e
tais que
(a) determinar constantes
(b) usando (a), obter uma expressão explícita de
em termos do logaritmo;
(c) usando , determinar o tempo necessário para que a população de fêmeas seja reduzida à metade da inicial (ou seja,
).
(c) usando
Passo 2
Vamos decompor em frações parciais. Partimos da identidade proposta:
Multiplicando ambos os lados por
obtemos uma igualdade polinomial:
Expandindo e agrupando termos semelhantes:
Comparando coeficientes dos termos em
e dos termos constantes obtemos o sistema:
Passo 3
Da segunda equação segue
Usando
segue
Portanto
(Fazendo uma checagem rápida, substituindo de volta dá
, correto.)
Passo 4
Agora substituímos a decomposição na integral. Temos
Portanto
O fator
multiplica
, então simplifica para
Lembrete de cálculo: a primitiva de
é
porque
. De modo análogo, a primitiva de
é
(regra da cadeia com derivada 1).
Passo 5
Integramos e avaliamos a integral definida:
Assim
Aplicando os limites:
Usando propriedades do logaritmo (soma vira produto) e recolhendo o sinal:
Calculando
dá
. Logo uma forma conveniente é
Esta é a expressão explícita pedida em termos da função logarítmica.
Passo 6
Agora a parte (c): queremos o tempo para a população ser metade da inicial, ou seja
(já em milhares). Substituindo em
:
Calculando o denominador:
. Portanto
Usando a aproximação fornecida
, obtemos
Resposta
(a)
(b)
(c)