Suponha que uma população inicial de 200 mil fêmeas de um determinado inseto habite uma região agrícola, e que esteja crescendo a uma taxa 50 \% ao ano. Para retardar o crescimento sem o uso de pesticidas, foram introduzidos 50 mil machos estéreis na região, que cruzam com as fêmeas mas não produzem descendentes. Indique por p a população, em milhares, de fêmeas desse inseto em um determinado instante. Nesse caso, o tempo T(p), em anos, necessário para que essa população alcance o número p<200 pode ser modelado pela função
T(p)=-2 \int_{200}^{p} \frac{x+50}{x(x+100)} d x
a) Determine constantes A e B tais que \frac{x+50}{x(x+100)}=\frac{A}{x}+\frac{B}{x+100}.
b) Usando o item anterior, obtenha uma expressão explícita para T(p) em termos da função logarítmica.
c) Usando a aproximação \ln (3)=1,1, determine o tempo necessário para que a população de fêmeas seja reduzida à metade da população inicial.

Passo 1

O enunciado e os dados relevantes são:
  • População inicial de fêmeas: 200 (em milhares), isto é, 200{,}0 milhares = 200 na unidade usada em p.
  • Foram introduzidos 50 mil machos estéreis, por isso aparece o termo +50 no numerador da fração.
  • A função que modela o tempo T(p), em anos, para a população de fêmeas atingir o valor p<200 (em milhares) é
T(p)=-2 \int_{200}^{p} \frac{x+50}{x(x+100)}\,dx.
O enunciado pede:
(a) determinar constantes A e B tais que
\frac{x+50}{x(x+100)}=\frac{A}{x}+\frac{B}{x+100};
(b) usando (a), obter uma expressão explícita de T(p) em termos do logaritmo;
(c) usando \ln(3)=1,1, determinar o tempo necessário para que a população de fêmeas seja reduzida à metade da inicial (ou seja, p=100).

Passo 2

Vamos decompor em frações parciais. Partimos da identidade proposta:
\frac{x+50}{x(x+100)}=\frac{A}{x}+\frac{B}{x+100}.
Multiplicando ambos os lados por x(x+100) obtemos uma igualdade polinomial:
x+50 = A(x+100)+B x.
Expandindo e agrupando termos semelhantes:
x+50 = (A+B)x + 100A.
Comparando coeficientes dos termos em x e dos termos constantes obtemos o sistema:
\begin{cases} A+B = 1,\\[4pt] 100A = 50. \end{cases}]

Passo 3

Da segunda equação segue
A=\frac{50}{100}=\tfrac{1}{2}.
Usando A+B=1 segue
B=1-A=1-\tfrac{1}{2}=\tfrac{1}{2}.
Portanto
A=B=\tfrac{1}{2}.
(Fazendo uma checagem rápida, substituindo de volta dá \tfrac{1}{2}\big(\frac{1}{x}+\frac{1}{x+100}\big)=\frac{x+50}{x(x+100)}, correto.)

Passo 4

Agora substituímos a decomposição na integral. Temos
\frac{x+50}{x(x+100)}=\tfrac{1}{2}\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{x+100}\right).
Portanto
T(p)=-2\int_{200}^{p}\tfrac{1}{2}\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{x+100}\right)\,dx.
O fator -2 multiplica \tfrac{1}{2}, então simplifica para
T(p)=-\int_{200}^{p}\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{x+100}\right)\,dx.
Lembrete de cálculo: a primitiva de \dfrac{1}{x} é \ln|x| porque \dfrac{d}{dx}\ln|x|=\dfrac{1}{x}. De modo análogo, a primitiva de \dfrac{1}{x+100} é \ln|x+100| (regra da cadeia com derivada 1).

Passo 5

Integramos e avaliamos a integral definida:
\int\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{x+100}\right)\,dx = \ln|x|+\ln|x+100| + C.
Assim
T(p)=-\Big[\ln|x|+\ln|x+100|\Big]_{x=200}^{x=p}.
Aplicando os limites:
T(p)=-\big(\ln|p|+\ln|p+100|-\ln 200-\ln 300\big).
Usando propriedades do logaritmo (soma vira produto) e recolhendo o sinal:
T(p)=\ln\!\left(\frac{200\cdot 300}{p(p+100)}\right).
Calculando 200\cdot 300 60000. Logo uma forma conveniente é
T(p)=\ln\!\left(\frac{60000}{p(p+100)}\right).
Esta é a expressão explícita pedida em termos da função logarítmica.

Passo 6

Agora a parte (c): queremos o tempo para a população ser metade da inicial, ou seja p=100 (já em milhares). Substituindo em T(p):
T(100)=\ln\!\left(\frac{60000}{100\cdot(100+100)}\right)=\ln\!\left(\frac{60000}{100\cdot 200}\right).
Calculando o denominador: 100\cdot 200=20000. Portanto
T(100)=\ln\!\left(\frac{60000}{20000}\right)=\ln(3).
Usando a aproximação fornecida \ln(3)=1{,}1, obtemos
T(100)\approx 1{,}1\\ \text{anos}.

Resposta

(a) A=B=\tfrac{1}{2}
(b) T(p)=\ln\!\left(\frac{60000}{p(p+100)}\right)
(c) T(100)=\ln(3)\approx 1{,}1\\ \text{anos}

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