Calcule o volume do conjunto S dado.
(c) S=\left\{(x, y, z) \in \mathbb{R}^{3}: 0 \leqslant y \leqslant 1-x^{2}\right. e \left.0 \leqslant z \leqslant 1-x^{2}\right\}.

Passo 1

O enunciado pede o volume do conjunto
S = \{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3 : 0\le y\le1-x^2,\;0\le z\le1-x^2\}.
O conteúdo necessário é cálculo de volume por integral tripla e uso de Fubini. Vamos projetar a região no eixo x e montar a integral.

Passo 2

Para que as desigualdades 0\le y\le1-x^2 e 0\le z\le1-x^2 façam sentido, é preciso ter 1-x^2\ge0. Logo
-1\le x\le1.

Passo 3

O volume de S é dado por
V = \iiint_{S} dV = \int_{x=-1}^{1}\Bigl[\int_{y=0}^{1-x^2}\!\!\int_{z=0}^{1-x^2} dz\,dy\Bigr]dx.

Passo 4

Primeiro integramos em z e depois em y:
\int_{z=0}^{1-x^2}dz = 1-x^2,
\int_{y=0}^{1-x^2}(1-x^2)\,dy = (1-x^2)\bigl[(1-x^2)-0\bigr] = (1-x^2)^2.
Assim
V = \int_{-1}^{1}(1-x^2)^2\,dx.

Passo 5

Expandindo o integrando e usando paridade (é função par):
(1-x^2)^2 = 1 - 2x^2 + x^4,
V = \int_{-1}^{1}(1 - 2x^2 + x^4)\,dx = 2\int_{0}^{1}(1 - 2x^2 + x^4)\,dx.
Calculamos
\int_{0}^{1}(1 - 2x^2 + x^4)\,dx = \Bigl[x - \tfrac{2x^3}{3} + \tfrac{x^5}{5}\Bigr]_{0}^{1} = 1 - \tfrac{2}{3} + \tfrac{1}{5} = \tfrac{15 - 10 + 3}{15} = \tfrac{8}{15}.
Portanto
V = 2 \cdot \tfrac{8}{15} = \tfrac{16}{15}.

Resposta

\displaystyle \frac{16}{15}

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