Calcule o volume do conjunto S dado.
(f) S=\left\{(x, y, z) \in \mathbb{R}^{3}: x \geqslant 0, x \leqslant y \leqslant 1 \mathrm{e} 0 \leqslant z \leqslant e^{y^{2}}\right\}.

Passo 1

O enunciado pede o volume do conjunto
S=\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3:\;x\ge0,\;x\le y\le1,\;0\le z\le e^{y^2}\}.
Isso é um problema de cálculo de volume por integral tripla em coordenadas cartesianas.

Passo 2

Para descrever S de forma iterada, observamos:
  • y varia de 0 até 1, pois x\le y\le1 e x\ge0.
  • Para dado y, x varia de 0 até y.
  • Para dado (x,y), z varia de 0 até e^{y^2}.
    Logo podemos escrever
\mathrm{Vol}(S) =\int_{y=0}^{1}\!\int_{x=0}^{y}\!\int_{z=0}^{e^{y^2}}1\;dz\,dx\,dy.

Passo 3

Integramos primeiro em z:
\int_{z=0}^{e^{y^2}}1\,dz =\Bigl[z\Bigr]_{0}^{e^{y^2}} =e^{y^2}.
Substituindo na integral, fica
\mathrm{Vol}(S) =\int_{0}^{1}\!\int_{0}^{y}e^{y^2}\;dx\,dy.

Passo 4

Agora integramos em x. Como e^{y^2} é constante em relação a x,
\int_{x=0}^{y}e^{y^2}\,dx =e^{y^2}\,\Bigl[x\Bigr]_{0}^{y} =y\,e^{y^2}.
Assim
\mathrm{Vol}(S) =\int_{0}^{1}y\,e^{y^2}\,dy.

Passo 5

Para calcular
\int_{0}^{1}y\,e^{y^2}\,dy,
fazemos a substituição u=y^2, logo du=2y\,dy ou y\,dy=\tfrac12\,du. Quando y=0, u=0; quando y=1, u=1. Então
\int_{0}^{1}y\,e^{y^2}\,dy =\frac12\int_{0}^{1}e^{u}\,du =\frac12\Bigl[e^{u}\Bigr]_{0}^{1} =\frac12\bigl(e-1\bigr).

Resposta

O volume do conjunto S é
\frac{e-1}{2}.

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