Calcule o volume do conjunto S dado.
(i) S=\left\{(x, y, z) \in \mathbb{R}^{3}: x+y+z \leqslant 1, x \geqslant 0, y \geqslant 0\right. e \left.z \geqslant 0\right\}.

Passo 1

O enunciado pede o volume do conjunto
S = \{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3 \mid x+y+z\le1,\;x\ge0,\;y\ge0,\;z\ge0\}.
Geomtricamente, S é um tetraedro (o simplex padrão em \mathbb{R}^3) com vértices em (0,0,0), (1,0,0), (0,1,0) e (0,0,1). Vamos usar integras triplas para calcular o volume.

Passo 2

Escrevemos o volume como integral tripla na ordem z, depois y e por fim x:
V = \iiint_{S} dV = \int_{x=0}^{1}\int_{y=0}^{1-x}\int_{z=0}^{1-x-y} dz\,dy\,dx.

Passo 3

Calculamos a integral interna em z:
\int_{z=0}^{1-x-y} dz = 1 - x - y.

Passo 4

Substituindo na dupla integral sobre x e y e integrando em y:
\int_{y=0}^{1-x}(1 - x - y)\,dy = \bigl[(1-x)y - \tfrac12\,y^2\bigr]_{0}^{\,1-x} = (1-x)(1-x) - \tfrac12\,(1-x)^2 = \tfrac12\,(1-x)^2.

Passo 5

Agora integramos em x:
V = \int_{x=0}^{1} \tfrac12\,(1-x)^2\,dx = \tfrac12 \int_{0}^{1} (1-x)^2\,dx = \tfrac12 \bigl[\,-\tfrac{(1-x)^3}{3}\bigr]_{0}^{1} = \tfrac12 \cdot \tfrac{1}{3} = \tfrac{1}{6}.

Resposta

\displaystyle \frac{1}{6}

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