Inverta a ordem de integração.
(d)
(d)
Passo 1
O enunciado pede para inverter a ordem de integração em
O conteúdo aqui é descrever geometricamente a região
e depois reescrever a integral trocando a ordem
.
Passo 2
Primeiro, vamos entender as fronteiras de
.
A parte inferior de é o ramo de parábola
A parte inferior de
e a parte superior é o arco de círculo (meia‐circunferência)
com
.
Passo 3
Determinar o intervalo de
.
Na região , o menor
ocorre onde
é mínimo, ou seja em
, dando
Na região
O maior
ocorre onde
é máximo, também em
, dando
Então
varia em
.
Passo 4
Para um
fixo em
,
deve satisfazer simultaneamente
A primeira condição dá
.
A segunda, ao elevar ao quadrado, é
A segunda, ao elevar ao quadrado, é
Passo 5
Combinamos as duas restrições:
Para ver qual raiz é menor, igualamos
Logo,
- Se
, então e assim . - Se
, então e assim .
Passo 6
Portanto, invertendo a ordem de integração, a integral original se escreve como soma de dois trechos em
: