Calcule o volume entre as curvas:
(b) Calcule o volume do sólido gerado pela rotação da região delimitada por y = sen(x) e y = cos(x) no intervalo x pertence a [0, pi/4] em torno do eixo y;

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema de calcular o volume de um sólido gerado pela rotação de uma região delimitada pelas funções e no intervalo em torno do eixo . A matéria que vamos usar aqui é o Cálculo Integral, mais especificamente o método dos “cilindros” ou “discos” para calcular volumes de sólidos de rotação. Vamos precisar entender como configurar a integral para encontrar esse volume.

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar as funções e no intervalo dado. No intervalo , começa em 1 e diminui até , enquanto começa em 0 e aumenta até . Isso significa que, nesse intervalo, está sempre acima de .

Passo 3

Como vamos girar em torno do eixo , o método dos cilindros (ou método das cascas cilíndricas) é apropriado. Esse método consiste em integrar ao longo do eixo , considerando pequenas “cascas” cilíndricas formadas pela rotação de cada elemento da região em torno do eixo .

Passo 4

A fórmula do método dos cilindros é:
onde:
  • é a distância do elemento à linha de rotação (eixo ),
  • é a função superior ( ),
  • é a função inferior ( ),
  • é o intervalo de integração.

Passo 5

Substituindo os valores no intervalo :

Passo 6

Vamos resolver a integral:
Para resolver essas integrais, vamos usar a técnica de integração por partes, onde e ou .

Passo 7

Primeiro, resolvendo :
Aplicando integração por partes:

Passo 8

Agora, resolvendo :
Aplicando integração por partes:

Passo 9

Substituindo de volta na expressão do volume:

Passo 10

Calculando as integrais nos limites:
Para :
Para :

Passo 11

Agora, substituindo de volta na expressão do volume:

Passo 12

Finalmente, simplificando:

Resposta

O volume do sólido gerado é:

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