Calcule o volume entre as curvas:
(b) Calcule o volume do sólido gerado pela rotação da região delimitada por e no intervalo em torno do eixo ;
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema de calcular o volume de um sólido gerado pela rotação de uma região delimitada pelas funções e no intervalo em torno do eixo . A matéria que vamos usar aqui é o Cálculo Integral, mais especificamente o método dos “cilindros” ou “discos” para calcular volumes de sólidos de rotação. Vamos precisar entender como configurar a integral para encontrar esse volume.
Passo 2
Primeiro, vamos visualizar as funções e no intervalo dado. No intervalo , começa em 1 e diminui até , enquanto começa em 0 e aumenta até . Isso significa que, nesse intervalo, está sempre acima de .
Passo 3
Como vamos girar em torno do eixo , o método dos cilindros (ou método das cascas cilíndricas) é apropriado. Esse método consiste em integrar ao longo do eixo , considerando pequenas “cascas” cilíndricas formadas pela rotação de cada elemento da região em torno do eixo .
Passo 4
A fórmula do método dos cilindros é:
onde:
é a distância do elemento à linha de rotação (eixo ),
é a função superior (),
é a função inferior (),
é o intervalo de integração.
Passo 5
Substituindo os valores no intervalo :
Passo 6
Vamos resolver a integral:
Para resolver essas integrais, vamos usar a técnica de integração por partes, onde e ou .
Passo 7
Primeiro, resolvendo :
Aplicando integração por partes:
Passo 8
Agora, resolvendo :
Aplicando integração por partes:
Passo 9
Substituindo de volta na expressão do volume:
Passo 10
Calculando as integrais nos limites:
Para :
Para :
Passo 11
Agora, substituindo de volta na expressão do volume: