Calcule as integrais por substituição:
(g)
(g)
Passo 1
Vamos resolver a integral
Este exercício envolve o cálculo de integrais usando o método de substituição. Para resolver, vamos precisar conhecer técnicas de substituição trigonométrica, que são úteis quando temos expressões envolvendo radicais como .
Este exercício envolve o cálculo de integrais usando o método de substituição. Para resolver, vamos precisar conhecer técnicas de substituição trigonométrica, que são úteis quando temos expressões envolvendo radicais como
Passo 2
Primeiro, vamos identificar a forma da expressão dentro da raiz:
Perceba que
é igual a
, então podemos reescrever a expressão como
Isso sugere que podemos usar uma substituição trigonométrica, especificamente:
Isso sugere que podemos usar uma substituição trigonométrica, especificamente:
Passo 3
Fazendo a substituição
, precisamos calcular
:
Agora, substituímos
Passo 4
Simplificando a expressão dentro da raiz:
Agora, nossa integral fica:
Passo 5
Para integrar
, usamos a identidade trigonométrica:
Substituindo na integral:
Passo 6
Integrando termo a termo:
onde
Passo 7
Agora, precisamos voltar para a variável original
.
Lembrando que , então:
Lembrando que
Também, podemos usar a identidade
E como
então:
então:
Passo 8
Substituindo de volta na expressão da integral:
Resposta
A integral
é igual a
onde