Calcule as integrais por substituição:
(g)
integral raiz9-x^2 d x

Passo 1

Vamos resolver a integral integral raiz9 - x^2 , dx
Este exercício envolve o cálculo de integrais usando o método de substituição. Para resolver, vamos precisar conhecer técnicas de substituição trigonométrica, que são úteis quando temos expressões envolvendo radicais como raiza^2 - x^2.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a forma da expressão dentro da raiz: raiz9 - x^2
Perceba que 9 é igual a 3^2, então podemos reescrever a expressão como raiz3^2 - x^2
Isso sugere que podemos usar uma substituição trigonométrica, especificamente:
x = 3sintheta

Passo 3

Fazendo a substituição x = 3sintheta, precisamos calcular dx:
dx = 3costheta , dtheta
Agora, substituímos x e dx na integral original:
integral raiz9 - x^2 , dx = integral raiz9 - 9sin^2theta cdot 3costheta , dtheta

Passo 4

Simplificando a expressão dentro da raiz:
raiz9 - 9sin^2theta = raiz9(1 - sin^2theta) = raiz9cos^2theta = 3costheta
Agora, nossa integral fica:
integral 3costheta cdot 3costheta , dtheta = 9integral cos^2theta , dtheta

Passo 5

Para integrar cos^2theta, usamos a identidade trigonométrica:
cos^2theta = 1 + cos(2theta)2
Substituindo na integral:
9integral 1 + cos(2theta)2 , dtheta = 92 integral (1 + cos(2theta)) , dtheta

Passo 6

Integrando termo a termo:
92 ( integral 1 , dtheta + integral cos(2theta) , dtheta ) = 92 ( theta + sin(2theta)2 ) + C,
onde C é a constante de integração.

Passo 7

Agora, precisamos voltar para a variável original x.
Lembrando que x = 3sintheta, então:
sintheta = x3 implies theta = arcsin(x3)
Também, podemos usar a identidade sin(2theta) = 2sinthetacostheta para expressar sin(2theta) em termos de x:
sin(2theta) = 2 cdot x3 cdot costheta
E como costheta = raiz1 - sin^2theta = raiz1 - (x3)^2 = raiz9 - x^23,
então:
sin(2theta) = 2 cdot x3 cdot raiz9 - x^23 = 2xraiz9 - x^29

Passo 8

Substituindo de volta na expressão da integral:
92 ( arcsin(x3) + 12 cdot 2xraiz9 - x^29 ) + C = 92 arcsin(x3) + xraiz9 - x^22 + C

Resposta

A integral integral raiz9 - x^2 , dx é igual a
92 arcsin(x3) + xraiz9 - x^22 + C,
onde C é a constante de integração.

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