Calcule o volume do elipsóide 4 x^{2}+4 y^{2}+z^{2}=4 utilizando coordenadas cilíndricas.

Passo 1

O enunciado pede o volume do elipsóide definido por
4x^2 + 4y^2 + z^2 = 4,
usando coordenadas cilíndricas. O conteúdo aqui é integral tripla em coordenadas cilíndricas, onde faremos a mudança
\;x = r\cos\theta,\;y = r\sin\theta,\;z = z\;
e o elemento de volume é \mathrm{d}V = r\,\mathrm{d}z\,\mathrm{d}r\,\mathrm{d}\theta.

Passo 2

Em coordenadas cilíndricas, a equação fica
4r^2 + z^2 = 4 \quad\Longleftrightarrow\quad z^2 = 4(1 - r^2).
Para pontos dentro do elipsóide, r varia de 0 até 1, \theta de 0 a 2\pi, e para cada (r,\theta) o z satisfaz
-2\sqrt{1 - r^2}\;\le\;z\;\le\;2\sqrt{1 - r^2}.

Passo 3

O volume V é dado pela integral tripla
V = \int_{\theta=0}^{2\pi} \int_{r=0}^{1} \int_{z=-2\sqrt{1-r^2}}^{2\sqrt{1-r^2}} r\,\mathrm{d}z\,\mathrm{d}r\,\mathrm{d}\theta.

Passo 4

Primeiro, integramos em z:
\int_{z=-2\sqrt{1-r^2}}^{2\sqrt{1-r^2}} r\,\mathrm{d}z = r\Bigl[z\Bigr]_{-2\sqrt{1-r^2}}^{2\sqrt{1-r^2}} = r\bigl(2\sqrt{1-r^2} - (-2\sqrt{1-r^2})\bigr) = 4\,r\,\sqrt{1-r^2}.
Logo a integral torna-se
V = \int_{0}^{2\pi} \int_{0}^{1} 4\,r\,\sqrt{1-r^2}\,\mathrm{d}r\,\mathrm{d}\theta.

Passo 5

Agora integramos em r. Faça a substituição u = 1 - r^2, logo \mathrm{d}u = -2r\,\mathrm{d}r, ou r\,\mathrm{d}r = -\tfrac12\,\mathrm{d}u. Quando r=0, u=1; quando r=1, u=0. Assim
\int_{0}^{1}4\,r\,\sqrt{1-r^2}\,\mathrm{d}r =4\int_{1}^{0}\sqrt{u}\,\Bigl(-\tfrac12\Bigr)\,\mathrm{d}u =2\int_{0}^{1}u^{1/2}\,\mathrm{d}u =2\Bigl[\tfrac{u^{3/2}}{3/2}\Bigr]_{0}^{1} =2\cdot\tfrac{2}{3} =\tfrac{4}{3}.
Portanto
V = \int_{0}^{2\pi}\frac{4}{3}\,\mathrm{d}\theta =\frac{4}{3}\,\bigl[\,\theta\,\bigr]_{0}^{2\pi} =\frac{4}{3}\cdot2\pi =\frac{8\pi}{3}.

Resposta

O volume do elipsóide é \displaystyle \frac{8\pi}{3}.

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