Utilize coordenadas polares para calcular
\mathrm{I}=\iint_{\mathrm{R}} \sqrt{x^{2}+y^{2}} d x d y
, sendo R a região limitada pelas curvas
x^{2}+y^{2}=2 x, x^{2}+y^{2}=4 x, y=x
e
y=\frac{\sqrt{3}}{3} x.

Passo 1

O enunciado pede calcular
\mathrm{I}=\iint_{R}\sqrt{x^{2}+y^{2}}\;dx\,dy
usando coordenadas polares, onde R é a região limitada por
x^{2}+y^{2}=2x, x^{2}+y^{2}=4x, y=x e y=\tfrac{\sqrt{3}}{3}x.
O conteúdo aqui é mudança para coordenadas polares, uso do jacobiano e integração em ordem r \theta.

Passo 2

Em coordenadas polares fazemos
x = r\cos\theta,\quad y = r\sin\theta,
portanto
\sqrt{x^{2}+y^{2}}=r, \quad dx\,dy = r\,dr\,d\theta.
As curvas ficam em polares:
x^{2}+y^{2}=2x\;\Longrightarrow\;r^{2}=2r\cos\theta\;\Longrightarrow\;r=2\cos\theta,
x^{2}+y^{2}=4x\;\Longrightarrow\;r=4\cos\theta,
y=x\;\Longrightarrow\;\tan\theta=1\;\Longrightarrow\;\theta=\frac{\pi}{4},
y=\frac{\sqrt{3}}{3}x\;\Longrightarrow\;\tan\theta=\frac{\sqrt{3}}{3}\;\Longrightarrow\;\theta=\frac{\pi}{6}.
Logo r varia de 2\cos\theta até 4\cos\theta e \theta de \pi/6 até \pi/4.

Passo 3

Substituindo no integral,
\mathrm{I} =\int_{\theta=\pi/6}^{\pi/4}\int_{r=2\cos\theta}^{4\cos\theta}r\;\bigl(r\,dr\,d\theta\bigr) =\int_{\pi/6}^{\pi/4}\!\int_{2\cos\theta}^{4\cos\theta}r^{2}\,dr\,d\theta.
Fazemos primeiro a integral em r:
\int_{2\cos\theta}^{4\cos\theta}r^{2}\,dr =\left[\frac{r^{3}}{3}\right]_{2\cos\theta}^{4\cos\theta} =\frac{(4\cos\theta)^{3}-(2\cos\theta)^{3}}{3} =\frac{64\cos^{3}\theta-8\cos^{3}\theta}{3} =\frac{56}{3}\cos^{3}\theta.
Portanto
\mathrm{I} =\frac{56}{3}\int_{\pi/6}^{\pi/4}\cos^{3}\theta\,d\theta.

Passo 4

Para computar \displaystyle\int\cos^{3}\theta\,d\theta, escrevemos
\cos^{3}\theta = \cos\theta\,(1-\sin^{2}\theta)
e fazemos u=\sin\theta, du=\cos\theta\,d\theta:
\int\cos^{3}\theta\,d\theta =\int(1-u^{2})\,du = u-\frac{u^{3}}{3} =\sin\theta-\frac{\sin^{3}\theta}{3}.
Avaliaremos esse antiderivado entre \theta=\pi/6 e \theta=\pi/4.

Passo 5

Em \theta=\pi/4:
\sin\theta=\frac{\sqrt2}{2},\quad \sin^{3}\theta=\frac{\sqrt2}{2}\cdot\frac{\sqrt2}{2}\cdot\frac{\sqrt2}{2} =\frac{\sqrt2}{4},
\sin\theta-\frac{\sin^{3}\theta}{3} =\frac{\sqrt2}{2}-\frac{1}{3}\cdot\frac{\sqrt2}{4} =\frac{\sqrt2}{2}-\frac{\sqrt2}{12} =\frac{5\sqrt2}{12}.
Em \theta=\pi/6:
\sin\theta=\frac12,\quad \sin^{3}\theta=\frac18, \quad \sin\theta-\frac{\sin^{3}\theta}{3} =\frac12-\frac{1}{3}\cdot\frac18 =\frac12-\frac{1}{24} =\frac{11}{24}.
Logo
\int_{\pi/6}^{\pi/4}\cos^{3}\theta\,d\theta =\frac{5\sqrt2}{12}-\frac{11}{24} =\frac{10\sqrt2-11}{24}.
Substituindo em \mathrm{I}:
\mathrm{I} =\frac{56}{3}\,\frac{10\sqrt2-11}{24} =\frac{56\,(10\sqrt2-11)}{72} =\frac{7\,(10\sqrt2-11)}{9}.

Resposta

\mathrm{I}=\frac{7\bigl(10\sqrt2-11\bigr)}{9}.

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