Use coordenadas esféricas para calcular o volume V da esfera de raio
.
Passo 1
O enunciado pede para calcular o volume
de uma esfera de raio
usando coordenadas esféricas. O conteúdo envolvido é o uso de integrais triplas em coordenadas esféricas e o cálculo do jacobiano dessa transformação.
Passo 2
Em coordenadas esféricas nós fazemos a troca
onde
é a distância à origem,
é o ângulo polar (de
), e
é o ângulo azimutal (no plano
). O elemento de volume vira
Passo 3
Como a esfera de raio
corresponde a
,
variando de
a
e
de
a
, montamos a integral
Passo 4
Vamos separar a integral em três partes:
Multiplicando tudo,
Resposta
O volume da esfera de raio
é