Use coordenadas esféricas para calcular o volume V da esfera de raio a.

Passo 1

O enunciado pede para calcular o volume V de uma esfera de raio a usando coordenadas esféricas. O conteúdo envolvido é o uso de integrais triplas em coordenadas esféricas e o cálculo do jacobiano dessa transformação.

Passo 2

Em coordenadas esféricas nós fazemos a troca
x = \rho\sin\varphi\cos\theta,\quad y = \rho\sin\varphi\sin\theta,\quad z = \rho\cos\varphi,
onde \rho\ge0 é a distância à origem, \varphi\in[0,\pi] é o ângulo polar (de z), e \theta\in[0,2\pi] é o ângulo azimutal (no plano xy). O elemento de volume vira
dV = \rho^2\sin\varphi\;d\rho\,d\varphi\,d\theta.

Passo 3

Como a esfera de raio a corresponde a 0\le\rho\le a, \varphi variando de 0 a \pi e \theta de 0 a 2\pi, montamos a integral
V = \int_{0}^{2\pi}\!\int_{0}^{\pi}\!\int_{0}^{a} \rho^2\sin\varphi\;d\rho\,d\varphi\,d\theta.

Passo 4

Vamos separar a integral em três partes:
\int_{0}^{a}\rho^2\,d\rho = \Bigl[\tfrac{\rho^3}{3}\Bigr]_{0}^{a} = \tfrac{a^3}{3},
\int_{0}^{\pi}\sin\varphi\,d\varphi = \Bigl[-\cos\varphi\Bigr]_{0}^{\pi} = 2,
\int_{0}^{2\pi}d\theta = 2\pi.
Multiplicando tudo,
V = \frac{a^3}{3}\times 2\times 2\pi = \frac{4\pi a^3}{3}.

Resposta

O volume da esfera de raio a é
V = \frac{4\pi a^3}{3}.

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