Considere um gás de rede constituído por N partículas distribuídas em V células (com N \leq V ). Suponha que cada célula possa estar vazia ou ocupada por uma única partícula. O número de estados microscópicos do sistema será dado por
\Omega(V, N)=\frac{V!}{N!(V-N)!}
Obtenha uma expressão para a entropia por partícula, s=s(v), onde v=V / N.

Passo 1

O enunciado descreve um gás de rede com N partículas em V células (cada célula vazia ou com uma partícula), de modo que o número de microestados é
\Omega(V,N)=\frac{V!}{N!\,(V-N)!}\,.
Queremos a entropia por partícula
s=\frac{S}{N}\,,\quad S=k_{B}\ln\Omega(V,N)\,,
em função de v=V/N.

Passo 2

Escrevemos
S = k_{B}\,\ln\Omega(V,N) = k_{B}\bigl[\ln V! - \ln N! - \ln (V-N)!\bigr].

Passo 3

Para N e V\gg1 usamos a aproximação de Stirling
\ln X!\approx X\ln X - X,
valendo para X=V,\;N,\;V-N.

Passo 4

Aplicando Stirling em cada termo,
\ln\Omega \approx \bigl[V\ln V - V\bigr] -\bigl[N\ln N - N\bigr] -\bigl[(V-N)\ln(V-N) - (V-N)\bigr].
Os termos lineares em V,N e V-N se cancelam, sobrando
\ln\Omega \approx V\ln V - N\ln N - (V-N)\ln(V-N).

Passo 5

Dividindo por N e usando V=N\,v, temos
\frac{1}{N}\ln\Omega = \frac{V}{N}\ln V - \ln N - \frac{V-N}{N}\ln(V-N) = v\ln(Nv) - \ln N - (v-1)\ln\bigl[N(v-1)\bigr].
Expandindo,
v(\ln N + \ln v) - \ln N - (v-1)(\ln N + \ln(v-1)) = v\ln v - (v-1)\ln(v-1),
pois os termos em \ln N se anulam.

Passo 6

Logo a entropia por partícula fica
s=\frac{S}{N} = k_{B}\,\frac{1}{N}\ln\Omega = k_{B}\bigl[v\ln v - (v-1)\ln(v-1)\bigr].

Resposta

s(v)=k_{B}\,\bigl[v\ln v - (v-1)\ln(v-1)\bigr].

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