Calcule o volume obtido quando giramos, em torno do eixo x, a região limitada pela cônica y=4(x-x^2) e o eixo das abcissas.

Passo 1

O enunciado pede o volume do sólido obtido ao girar, em torno do eixo x, a região limitada pela curva
y = 4l(x - x^2r)
e o eixo das abscissas. O método adequado é o dos discos (ou fatias).

Passo 2

Para aplicar o método dos discos, precisamos do intervalo em x em que a região existe acima do eixo x. Igualando
4l(x - x^2r) = 0
temos x(1 - x)=0, logo as raízes são x=0 e x=1. Portanto a região está em 0 <= x <= 1.

Passo 3

No método dos discos, cada seção transversal perpendicular ao eixo x é um círculo de raio y. Assim o volume é
V = pi integral0^1 l[y(x)r]^2 ,dx = pi integral0^1 l[4(x - x^2)r]^2 ,dx

Passo 4

Expande-se o quadrado:
l[4(x - x^2)r]^2 = 16,(x^2 - 2x^3 + x^4)
Logo
V = 16pi integral0^1 l(x^2 - 2x^3 + x^4r),dx

Passo 5

Integramos termo a termo:
integral0^1 x^2,dx = tfrac13, integral0^1 x^3,dx = tfrac14, integral0^1 x^4,dx = tfrac15
Então
V = 16pil(tfrac13 - 2cdottfrac14 + tfrac15r) = 16pil(tfrac10 - 15 + 630r) = 16picdottfrac130 = tfrac8pi15

Resposta

V = 8pi15

Exercícios relacionados