Calcule o volume do paralelepípedo definido pelos vetores \underset{\sim}{u}=(1,1,0), \underset{\sim}{v}=(0,2,2) e \underset{\sim}{w}=(3,0,-1).

Passo 1

O enunciado pede o volume do paralelepípedo gerado pelos vetores \mathbf{u}=(1,1,0), \mathbf{v}=(0,2,2) e \mathbf{w}=(3,0,-1). O volume V de um paralelepípedo é dado pelo valor absoluto do produto misto:
V = \bigl|\mathbf{u}\cdot(\mathbf{v}\times\mathbf{w})\bigr|.
Para resolver, precisamos calcular primeiro o produto vetorial \mathbf{v}\times\mathbf{w} e em seguida o produto escalar com \mathbf{u}.

Passo 2

Calculamos o produto vetorial via determinante:
\mathbf{v}\times\mathbf{w} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\\\ 0 & 2 & 2 \\\\ 3 & 0 & -1 \end{vmatrix} = \mathbf{i}\,(2\cdot(-1)-2\cdot0) -\mathbf{j}\,(0\cdot(-1)-2\cdot3) +\mathbf{k}\,(0\cdot0-2\cdot3).
Fazendo as contas:
\mathbf{v}\times\mathbf{w} = (-2)\,\mathbf{i} -(-6)\,\mathbf{j} +(-6)\,\mathbf{k} = (-2,\,6,\,-6).

Passo 3

Agora o produto escalar com \mathbf{u}:
\mathbf{u}\cdot(\mathbf{v}\times\mathbf{w}) = (1,1,0)\cdot(-2,6,-6) = 1\cdot(-2) + 1\cdot6 + 0\cdot(-6) = -2 + 6 + 0 = 4.

Passo 4

O volume é o valor absoluto desse resultado:
V = \bigl|4\bigr| = 4.

Resposta

O volume do paralelepípedo é 4.

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