Calcule a área do paralelogramo definido pelos vetores \underset{\sim}{p}=(3,-1,4) e \underset{\sim}{q}=(1,0,-2).

Passo 1

O enunciado pede a área do paralelogramo gerado pelos vetores \mathbf{p}=(3,-1,4) e \mathbf{q}=(1,0,-2). Em geometria vetorial, essa área é dada pelo módulo do produto vetorial entre \mathbf{p} e \mathbf{q}:
\text{Área} = \bigl\|\mathbf{p}\times\mathbf{q}\bigr\|.Á

Passo 2

Para encontrar \mathbf{p}\times\mathbf{q}, usamos a definição em coordenadas:
\mathbf{p}\times\mathbf{q} =\bigl(p_yq_z - p_zq_y,\;p_zq_x - p_xq_z,\;p_xq_y - p_yq_x\bigr).
Substituindo p_x=3, p_y=-1, p_z=4 e q_x=1, q_y=0, q_z=-2, obtemos
\mathbf{p}\times\mathbf{q} =\bigl((-1)\cdot(-2) - 4\cdot0,\;4\cdot1 - 3\cdot(-2),\;3\cdot0 - (-1)\cdot1\bigr) =(2,\;10,\;1).

Passo 3

Agora calculamos o módulo de \mathbf{p}\times\mathbf{q}=(2,10,1):
\bigl\|\mathbf{p}\times\mathbf{q}\bigr\| =\sqrt{2^2 + 10^2 + 1^2} =\sqrt{4 + 100 + 1} =\sqrt{105}.

Resposta

\sqrt{105}

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