Verifique se os vetores \underset{\sim}{a}=(1,2,3), \underset{\sim}{b}=(-1,0,2) e \underset{\sim}{c}=(1,4,8) são coplanares (ou seja, se pertencem ao mesmo plano).

Passo 1

O enunciado pede para verificar se os vetores \mathbf{a}=(1,2,3), \mathbf{b}=(-1,0,2) e \mathbf{c}=(1,4,8) são coplanares em \mathbb{R}^3. Para isso vamos usar o conteúdo de produto misto de vetores, que testa se três vetores partem da mesma origem e ficam no mesmo plano.

Passo 2

Três vetores em \mathbb{R}^3 são coplanares se, e somente se, o produto misto deles for zero. O produto misto \mathbf{a}\cdot(\mathbf{b}\times\mathbf{c}) pode ser calculado como o determinante da matriz cujas colunas são \mathbf{a}, \mathbf{b} e \mathbf{c}.
Montamos o determinante correspondente ao produto misto:
\mathbf{a}\cdot(\mathbf{b}\times\mathbf{c}) = \begin{vmatrix} 1 & -1 & 1\\\\ 2 & 0 & 4\\\\ 3 & 2 & 8 \end{vmatrix}

Passo 3

Calculamos o determinante pela primeira linha:
1\cdot(0\cdot 8 - 4\cdot 2) -(-1)\cdot(2\cdot 8 - 4\cdot 3) +1\cdot(2\cdot 2 - 0\cdot 3) =1\cdot(-8)+1\cdot(16-12)+1\cdot 4 =-8+4+4 =0

Passo 4

Como o produto misto é zero, concluímos que os três vetores são coplanares.

Resposta

Sim, os vetores são coplanares.

Exercícios relacionados