Calcule o volume do paralelepípedo determinado por: u=(1,0,3), v=(-1,4,2), w=(2,-2,1).
Passo 1
O enunciado pede para calcular o volume do paralelepípedo determinado pelos vetores abaixo. Dados fornecidos:
u=(1,0,3),\quad v=(-1,4,2),\quad w=(2,-2,1).
Pergunta: qual é o volume do paralelepípedo formado por u, v, w?
Passo 2
Conceito importante (explicação didática): o volume do paralelepípedo determinado por três vetores em \mathbb{R}^3 é o valor absoluto do produto misto (scalar triple product) desses vetores. Em fórmulas:
V = \left|\,u\cdot(v\times w)\,\right|.
Aqui v\times w é o produto vetorial (um vetor perpendicular tanto a v quanto a w) e u\cdot(\cdot) é o produto escalar (um número). Outra forma prática de calcular o produto misto é usar o determinante da matriz cujas linhas (ou colunas) são as coordenadas dos vetores:
Explicando por que usamos valor absoluto: o determinante pode ser negativo (orientação dos vetores), mas volume é sempre não negativo, então tomamos o módulo.]
Passo 3
Vamos montar a matriz com as coordenadas dos vetores u,v,w nas linhas e escrever o determinante que dá o produto misto: