Calcule o volume do paralelepípedo determinado por:
u=(1,0,3), v=(-1,4,2), w=(2,-2,1).

Passo 1

O enunciado pede para calcular o volume do paralelepípedo determinado pelos vetores abaixo. Dados fornecidos:
u=(1,0,3),\quad v=(-1,4,2),\quad w=(2,-2,1).
Pergunta: qual é o volume do paralelepípedo formado por u, v, w?

Passo 2

Conceito importante (explicação didática): o volume do paralelepípedo determinado por três vetores em \mathbb{R}^3 é o valor absoluto do produto misto (scalar triple product) desses vetores. Em fórmulas:
V = \left|\,u\cdot(v\times w)\,\right|.
Aqui v\times w é o produto vetorial (um vetor perpendicular tanto a v quanto a w) e u\cdot(\cdot) é o produto escalar (um número). Outra forma prática de calcular o produto misto é usar o determinante da matriz cujas linhas (ou colunas) são as coordenadas dos vetores:
u\cdot(v\times w)= \det\begin{pmatrix} u_1 & u_2 & u_3\\[4pt] v_1 & v_2 & v_3\\[4pt] w_1 & w_2 & w_3 \end{pmatrix}.
Explicando por que usamos valor absoluto: o determinante pode ser negativo (orientação dos vetores), mas volume é sempre não negativo, então tomamos o módulo.]

Passo 3

Vamos montar a matriz com as coordenadas dos vetores u,v,w nas linhas e escrever o determinante que dá o produto misto:
\det\begin{pmatrix} 1 & 0 & 3\\[4pt] -1 & 4 & 2\\[4pt] 2 & -2 & 1 \end{pmatrix}.]

Passo 4

Calculando o determinante pelo método de Sarrus (fácil para 3\times3). Para a matriz
\begin{pmatrix} a & b & c\\[4pt] d & e & f\\[4pt] g & h & i \end{pmatrix}
temos
\det = aei + bfg + cdh - (ceg + bdi + afh).
Aplicando aos nossos valores a=1, b=0, c=3, d=-1, e=4, f=2, g=2, h=-2, i=1:
Calcule os termos positivos:
aei = 1\cdot4\cdot1 = 4,
bfg = 0\cdot2\cdot2 = 0,
cdh = 3\cdot(-1)\cdot(-2) = 6.
Soma dos positivos:
4 + 0 + 6 = 10.
Calcule os termos negativos:
ceg = 3\cdot4\cdot2 = 24,
bdi = 0\cdot(-1)\cdot1 = 0,
afh = 1\cdot2\cdot(-2) = -4.
Soma dos negativos:
24 + 0 + (-4) = 20.
Determinante:
\det = 10 - 20 = -10.]

Passo 5

O produto misto u\cdot(v\times w) vale -10. O volume é o valor absoluto desse número, portanto
V = \left|-10\right| = 10.
Comentário curto e motivador: deu trabalho, mas o truque é sempre lembrar que volume = |determinante|; com prática você faz isso rápido na prova.

Resposta

10

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